Теория Кермака – Маккендрика

Теория Кермака-Маккендрика — это гипотеза , которая предсказывает количество и распределение случаев инфекционного заболевания по мере его передачи среди населения с течением времени. Опираясь на исследования Рональда Росса и Хильды Хадсон , А.Г. Маккендрик и У.О. Кермак опубликовали свою теорию в серии из трех статей в 1927, 1932 и 1933 годах. Хотя теория Кермака-Маккендрика действительно была источником моделей SIR и их родственников, Кермак и Маккендрик думали о более тонкой и эмпирически полезной проблеме, чем простые разделенные модели обсуждаемые здесь . Текст несколько сложно читать по сравнению с современными статьями, но важной особенностью является то, что это была модель, в которой возраст инфекции влиял на скорость передачи и удаления.

Из-за их исключительной важности для области теоретической эпидемиологии эти статьи были переизданы в Бюллетене математической биологии в 1991 году.

Эпидемическая модель (1927 г.)

В своей первоначальной форме теория Кермака-Маккендрика представляет собой модель дифференциального уравнения в частных производных, которая структурирует инфицированную популяцию с точки зрения возраста заражения, в то время какиспользование простых отсеков для восприимчивых (S), инфицированных (I) и выздоровевших/удаленных (R) людей.Заданные начальные условия будут меняться со временем в соответствии с

${\frac {dS}{dt}}=-\lambda S,$

${\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda S-\gamma (a)i,$

$I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da,$

${\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da,$

где $\delta (a)$ – дельта-функция Дирака и давление заражения

$\lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.$

Эта формулировка эквивалентна определению частоты инфицирования. $i(t,0)=\lambda S$.Только в частном случае, когда скорость удаления $\gamma (a)$ и скорость передачи $\beta (a)$ постоянны для всех возрастов. Можно ли выразить динамику эпидемии через распространенность? $I(t)$, что приводит к стандартной компартментной модели SIR . Эта модель учитывает только события заражения и удаления, которых достаточно для описания простой эпидемии, включая пороговое состояние, необходимое для начала эпидемии, но не может объяснить эндемическую передачу заболевания или повторяющиеся эпидемии.

Эндемическая болезнь (1932, 1933)

В своих последующих статьях Кермак и Маккендрик расширили свою теорию, включив в нее возможность рождения, миграции и смерти, а также несовершенный иммунитет. В современных обозначениях их модель можно представить как

${\frac {dS}{dt}}=b_{0}+b_{S}S+b_{I}I+b_{R}R-\lambda S-m_{S}S,$

${\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda (S+\sigma R)-\gamma (a)i-\mu (a)i-m_{i}(a)i,$

$I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da$

${\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da-\sigma \lambda R-m_{R}R,$

где $b_{0}$ - уровень иммиграции восприимчивых людей, b _j - уровень рождаемости на душу населения в штате j , m _j - уровень смертности на душу населения в штате j , $\sigma$ – это относительный риск заражения выздоровевших людей с частично иммунитетом, а также инфекционное давление

$\lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.$

Кермак и Маккендрик смогли показать, что этот подход допускает стационарное решение там, где болезнь является эндемической, при условии, что количество восприимчивых людей достаточно велико. Эту модель сложно анализировать во всей ее общности, и остается ряд открытых вопросов относительно ее динамики.

См. также

• Компартментальные модели в эпидемиологии
• Интегро-дифференциальное уравнение