Предложение (логика)

В логике предложение — это формула высказывания, образованная из конечного набора литералов (атомов или их отрицаний) и логических связок . Предложение истинно либо тогда, когда хотя бы один из образующих его литералов истинен (разделительное предложение, наиболее распространенное использование термина), либо когда все образующие его литералы истинны (соединительное предложение, менее распространенное предложение). использование этого термина). То есть это конечная дизъюнкция ^[1] или соединение литералов, в зависимости от контекста. Предложения обычно записываются следующим образом, где символы $l_{i}$ являются литералами:

l_{1}\vee \cdots \vee l_{n}

Пустые предложения

Предложение может быть пустым (определенным из пустого набора литералов). Пустое предложение обозначается различными символами, такими как $\emptyset$ , $\bot$ , или $\Box$ . Оценка истинности пустого разделительного предложения всегда $false$ . Это оправдано, если учесть, что $false$ является нейтральным элементом моноида $(\{false,true\},\vee )$ .

Оценка истинности пустого союзного предложения всегда $true$ . Это связано с концепцией пустой истины .

Импликативная форма

Каждое непустое (дизъюнктивное) предложение логически эквивалентно импликации головы из тела, где голова — это произвольный литерал предложения, а тело — это соединение дополнений других литералов. То есть, если присвоение истинности приводит к тому, что предложение становится истинным, и все литералы тела удовлетворяют этому предложению, то голова также должна быть истинной.

Эта эквивалентность обычно используется в логическом программировании , где предложения обычно записываются как импликация в такой форме. В более общем смысле голова может быть дизъюнкцией литералов. Если $b_{1},\ldots ,b_{m}$ литералы в теле предложения и $h_{1},\ldots ,h_{n}$ являются таковыми у его руководителя, то пункт обычно пишется следующим образом: