Соотношение дуальности волна-частица

Отношение корпускулярно-волнового дуализма , также называемое отношение двойственности Энглерта -Гринбергера-Ясина , или отношение Энглерта-Гринбергера , связывает видимость, $V$, интерференционных полос с определенностью или различимостью, $D$, о путях фотонов в квантовой оптике . В виде неравенства:

$D^{2}+V^{2}\leq 1\,$

Хотя оно рассматривается как одно отношение, на самом деле оно включает в себя два отдельных отношения, которые математически выглядят очень похожими. Первое соотношение, полученное Дэниелом Гринбергером и Алленом Ясином в 1988 году, выражается как $P^{2}+V^{2}\leq 1\,$. в 1995 году расширили его до обеспечения равенства для случая чистых квантовых состояний. Позже Грегг Йегер , Абнер Шимони и Лев Вайдман Это соотношение предполагает правильное угадывание, по какому из двух путей пошла бы частица, на основе первоначальной подготовки. . Здесь $P$ можно назвать предсказуемостью. Год спустя Бертольд-Георг Энглерт в 1996 году вывел родственное соотношение, касающееся экспериментального получения знаний о двух путях с использованием аппарата, а не предсказания пути на основе первоначальной подготовки. Это отношение $D^{2}+V^{2}\leq 1\,$. Здесь $D$ называется различимостью.

Значение этих соотношений состоит в том, что они количественно выражают взаимодополняемость волновой и корпускулярной точек зрения в двухщелевых экспериментах . Принцип дополнительности в квантовой механике , сформулированный Нильсом Бором , гласит, что волновой и корпускулярный аспекты квантовых объектов не могут наблюдаться одновременно. Соотношения дуальности волна-частица делают утверждение Бора более количественным: эксперимент может одновременно дать частичную информацию о волновом и корпускулярном аспектах фотона, но чем больше информации конкретный эксперимент дает об одном, тем меньше он даст о другом. Предсказуемость $P$ выражающее степень вероятности, с которой можно правильно угадать путь частицы, и различимость $D$ то есть степень, в которой можно экспериментально получить информацию о пути частицы, являются мерой информации о частице, а видимость полос $V$ является мерой волновой информации. Отношения показывают, что они обратно пропорциональны: когда одно повышается, другое понижается. Полосы видны в широком диапазоне различимости.

Математика двухщелевой дифракции

В этом разделе рассматривается математическая формулировка двухщелевого эксперимента . Формулировка дана в терминах дифракции и интерференции волн. Кульминацией разработки является представление двух чисел, характеризующих видимость интерференционных полос в эксперименте, связанных между собой соотношением двойственности Энглерта–Гринбергера . В следующем разделе будет обсуждаться ортодоксальная квантовомеханическая интерпретация отношения дуальности в терминах корпускулярно-волнового дуализма.

Волновую функцию в эксперименте Юнга с двойной апертурой можно записать как

$\Psi _{\text{Total}}(x)=\Psi _{A}(x)+\Psi _{B}(x).$

Функция

$\Psi _{A}(x)=C_{A}\Psi _{0}(x-x_{A})$

волновая функция, связанная с точечным отверстием в точке A с центром $x_{A}$; аналогичное соотношение справедливо и для точечного B. отверстия Переменная $x$ – положение в пространстве за щелями. Константы $C_{A}$ и $C_{B}$ – коэффициенты пропорциональности соответствующих амплитуд волн, $\Psi _{0}(x)$ — волновая функция одиночной дырки для апертуры с центром в начале координат. Волновая функция одиночной дырки считается волновой функцией дифракции Фраунгофера ; форма отверстия не имеет значения, и отверстия считаются идеализированными. Считается, что волна имеет фиксированный падающий импульс. $p_{0}=h/\lambda$:

$\Psi _{0}(x)\propto {\frac {e^{ip_{0}\cdot |x|/\hbar }}{|x|}}$

где $|x|$ - радиальное расстояние от точечного отверстия.

Чтобы отличить, через какое отверстие прошел фотон, нужна некоторая степень различимости между отверстиями. Такая мера определяется

$P=|P_{A}-P_{B}|,\,$

где $P_{A}$ и $P_{B}$ – это вероятности обнаружить, что частица прошла через отверстие A и отверстие B соответственно.

Поскольку вероятностная мера Борна определяется выражением

$P_{A}={\frac {|C_{A}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}$

и

$P_{B}={\frac {|C_{B}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}$

тогда мы получим:

$P=\left|\;{\frac {|C_{A}|^{2}-|C_{B}|^{2}}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}\,\right|$

У нас есть в частности $P=0$ для двух симметричных отверстий и $P=1$ для одной апертуры (идеальная различимость). В дальней зоне двух точечных отверстий две волны интерферируют и создают полосы. Интенсивность интерференционной картины в точке y фокальной плоскости определяется выражением

$I(y)\propto 1+V\cos \left({\frac {p_{y}d}{\hbar }}+\varphi \right)$

где $p_{y}=h/\lambda \cdot \sin(\alpha )$ - импульс частицы вдоль направления y , $\varphi =\operatorname {Arg} (C_{A})-\operatorname {Arg} (C_{B})$ представляет собой фиксированный фазовый сдвиг, а $d$ это расстояние между двумя отверстиями. Угол α от горизонтали определяется выражением $\sin(\alpha )\simeq \tan(\alpha )=y/L$ где $L$ — расстояние между апертурным экраном и плоскостью анализа дальнего поля. Если для наблюдения полос в задней фокальной плоскости используется линза, угол определяется выражением $\sin(\alpha )\simeq \tan(\alpha )=y/f$ где $f$ — фокусное расстояние линзы.

Видимость полос определяется

$V={\frac {I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}}$

где $I_{\max }$ и $I_{\min }$ обозначают максимальную и минимальную интенсивность полос соответственно. По правилам конструктивного и деструктивного взаимодействия мы имеем

$I_{\max }\propto ||C_{A}|+|C_{B}||^{2}$

$I_{\min }\propto ||C_{A}|-|C_{B}||^{2}$

Эквивалентно это можно записать как

$V=2{\frac {|C_{A}\cdot C_{B}^{*}|}{|C_{A}|^{2}+|C_{B}|^{2}}}.$

И, следовательно, для одиночного фотона в чистом квантовом состоянии мы получаем соотношение двойственности.

$V^{2}+P^{2}=1\,$

Есть два экстремальных случая, которые имеют простую интуитивную интерпретацию: В эксперименте с одним отверстием видимость полос равна нулю (поскольку полос нет). То есть, $V=0$ но $P=1$ поскольку мы знаем (по определению), через какое отверстие прошел фотон. С другой стороны, для конфигурации с двумя щелями, где две щели неотличимы от $P=0$, у человека идеальная видимость с $I_{\min }=0$ и, следовательно, $V=1$. Следовательно, в обоих этих экстремальных случаях мы также имеем $V^{2}+P^{2}=1$.

Приведенное выше представление было ограничено чистым квантовым состоянием. В более общем смысле для смеси квантовых состояний будет иметься

$V^{2}+P^{2}\leq 1.\,$

В оставшейся части разработки мы предполагаем, что источником света является лазер , поэтому мы можем предположить, что $V^{2}+P^{2}=1$ справедливо, следующее из свойств когерентности лазерного света.

Дополнительность

Математическое обсуждение, представленное выше, не требует в своей основе квантовой механики. В частности, этот вывод по существу справедлив для волн любого типа. С небольшими изменениями для учета возведения в квадрат амплитуд этот вывод можно применить, например, к звуковым волнам или волнам на воде в пульсирующем резервуаре .

Чтобы это соотношение было точной формулировкой дополнительности Бора, необходимо ввести в обсуждение корпускулярно-волновой дуализм. Это означает, что необходимо рассматривать как волновое, так и корпускулярное поведение света на равной основе. Двойственность волны и частицы подразумевает, что необходимо А) использовать унитарную эволюцию волны до наблюдения и Б) рассматривать аспект частицы после обнаружения (это называется постулатом коллапса Гейзенберга-фон Неймана). Действительно, поскольку фотон можно наблюдать только в одной точке пространства (фотон не может поглотиться дважды), это означает, что смысл волновой функции по существу статистический и его нельзя путать с классической волной (например, с теми, которые возникают в воздух или вода).

В этом случае прямое наблюдение фотона в апертурной плоскости исключает последующую регистрацию того же фотона в фокальной плоскости (F). И наоборот, наблюдение (F) означает, что мы не поглощали фотон раньше. Если оба отверстия открыты, это означает, что мы не знаем, где мы могли бы обнаружить фотон в плоскости апертуры. $P$ таким образом определяет предсказуемость двух дыр A и B .

Максимальное значение предсказуемости $P=1$ означает, что только одно отверстие (скажем, A открыто ). Если теперь мы обнаружим фотон в точке (F), мы будем знать, что этот фотон был бы обнаружен в точке А. обязательно Наоборот, $P=0$ означает, что оба отверстия открыты и играют симметричную роль. Если мы обнаружим фотон в точке (F), мы не знаем, где фотон мог быть обнаружен в плоскости апертуры и $P=0$ характеризует наше невежество.

Аналогично, если $P=0$ затем $V=1$ а это означает, что статистическое накопление фотонов в (F) создает интерференцию шаблон с максимальной видимостью. Наоборот, $P=1$ подразумевает $V=0$ и, таким образом, после статистической регистрации нескольких фотонов полосы не появляются.

Приведенная выше трактовка формализует корпускулярно-волновой дуализм для эксперимента с двумя щелями.

См. также

• Афшарский эксперимент
• Квантовая запутанность
• Квантовая неопределенность

Дальнейшее чтение

• Энглерт, Бертольд-Георг; Скалли, Марлан О.; Вальтер, Герберт (1991). «Квантово-оптические тесты дополнительности». Природа . 351 (6322): 111–116. Бибкод : 1991Natur.351..111S . дои : 10.1038/351111a0 . S2CID   4311842 . Демонстрирует, что эффекты квантовой интерференции уничтожаются необратимыми корреляциями объекта и устройства («измерение»), а не самим принципом неопределенности Гейзенберга. См. также «Двойственность материи и света». Научный американец . Декабрь 1994 года.
• Дрезе, Орельен (2005). «Дополнительность и эксперимент Афшара». arXiv : Quant-ph/0508091 .

Внешние ссылки

• Кармела Падавик-Каллаган (1 сентября 2021 г.). «Впервые количественно определен дуальность волны и частицы» . Мир физики .