Модель Фолгара-Такера

Уравнение Фолгара-Такера (FTE) — это широко распространенная и коммерчески применяемая модель для описания ориентации волокон при моделировании волокнистых композитов при литье под давлением.

Уравнение основано на уравнении Джеффри для волокон, взвешенных в расплаве, но, кроме того, учитывает взаимодействие волокон между собой. Затем Такер и Адвани интегрируют ансамбль волокон и, следовательно, получают уравнение эволюции для тензора ориентации/выравнивания. как Поле (физика) .Компактный способ выразить это:

${\frac {dA}{dt}}=W\cdot A-A\cdot W+\xi (D\cdot A+A\cdot D-2A_{4}:D)+2C{\dot {\gamma }}(1-3A).$

Скалярными величинами являются скорость сдвига. ${\dot {\gamma }}$, коэффициент взаимодействия C (для изотропной диффузии) и параметр, учитывающий соотношение сторон волокон $\xi$. $A_{4}$ является тензором четвертого порядка. Обычно, $A_{4}$ выражается как функция от A. Обнаружение наиболее подходящей функции известно как проблема замыкания.D и W — соответственно симметричная и антисимметричная часть градиента скорости, а 1 представляет собой единичный тензор. $:$ представляет собой сокращение по двум индексам.

Таким образом, Фолгар Такер представляет собой дифференциальное уравнение для тензора второго порядка A, а именно тензора ориентации.Это уравнение эволюции находится в рамках механики сплошной среды и связано с полем скорости.

Поскольку можно вставлять различные формы замыкания, возможны многие возможные формулировки уравнений. Для большинства форм замыкания FTE приводит к нелинейному дифференциальному уравнению (хотя была введена лемма для линеаризации его для некоторых популярных замыканий). ).

Аналитические решения некоторых версий FTE состоят как из экспоненциальных, тригонометрических, так и из гиперболических функций.

Численно FTE решается также в коммерческом программном обеспечении для моделирования литья под давлением.