Кулоновская щель

Впервые представлен М. Поллаком, Кулоновская щель представляет собой мягкую щель в одночастичной плотности состояний (ДОС) системы взаимодействующих локализованных электронов.Благодаря дальнодействующим кулоновским взаимодействиям одночастичная ПЭС исчезает при химическом потенциале при достаточно низких температурах, так что тепловые возбуждения не размывают щель.

Теория

При нулевой температуре классическое рассмотрение системы дает верхнюю границу DOS вблизи энергии Ферми , впервые предложенную Эфросом и Шкловским . Аргумент заключается в следующем:Давайте посмотрим на конфигурацию основного состояния системы. Определение $E_{i}$ как энергия электрона на узле $i$, из-за беспорядка и кулоновского взаимодействия со всеми остальными электронами (мы определяем это как для занятых, так и для незанятых узлов), легко видеть, что энергия, необходимая для перемещения электрона из занятого узла $i$ на незанятый участок $j$ задается выражением:

$\Delta E=E_{j}-E_{i}-e^{2}/r_{ij}$.

Вычитание последнего члена объясняет тот факт, что $E_{j}$ содержит член, обусловленный взаимодействием с электроном, присутствующим в узле $i$, но после перемещения электрона этот член учитывать не следует. Отсюда легко видеть, что существует энергия $E_{f}$ такой, что все узлы с энергиями выше него пусты, а ниже — полны (это энергия Ферми, но поскольку мы имеем дело с системой с взаимодействиями, то априори не очевидно, что она еще вполне определена).Предположим, что у нас есть конечная одночастичная DOS при энергии Ферми: $g(E_{f})$. Для любого возможного перехода электрона с занятого места $i$ на незанятый участок $j$, вложенная энергия должна быть положительной, поскольку мы предполагаем, что находимся в основном состоянии системы, т. е. $\Delta E>=0$.Предполагая, что у нас большая система, рассмотрим все узлы с энергиями в интервале $[E_{f}-\epsilon ,E_{f}+\epsilon ].$ Число их, по предположению, равно $N=2\epsilon g(E_{f}).$ Как объяснили, $N/2$ из них будут заняты, а остальные незаняты. Из всех пар занятых и незанятых площадок выберем ту, где они расположены ближе всего друг к другу. Если предположить, что сайты распределены в пространстве случайным образом, мы обнаружим, что расстояние между этими двумя сайтами имеет порядок: $R\sim (N/V)^{-1/d}$, где $d$ это размерность пространства.Подстановка выражения для $N$ в предыдущее уравнение получаем неравенство: $E_{j}-E_{i}-Ce^{2}(\epsilon g(E_{f})/V)^{1/d}>0$ где $C$ – коэффициент единицы порядка. С $E_{j}-E_{i}<2\epsilon$, это неравенство обязательно будет нарушаться при достаточно малых $\epsilon$. Следовательно, предполагая конечную DOS в $E_{f}$ привело к противоречию. Повторяя приведенный выше расчет в предположении, что DOS вблизи $E_{f}$ пропорционально $(E-E_{f})^{\alpha }$ показывает, что $\alpha >=d-1$. Это верхняя граница кулоновской щели. Эфрос рассмотрел одноэлектронные возбуждения и получил интегро-дифференциальное уравнение для DOS, показывающее, что кулоновская щель фактически следует приведенному выше уравнению (т.е. верхняя граница является жесткой).

Другие варианты решения проблемы включают численный подход среднего поля, а также более поздние методы лечения, такие как, также проверяем, что верхняя граница, предложенная выше, является точной. Также было выполнено множество симуляций Монте-Карло. некоторые из них не согласны с приведенным выше результатом. Лишь немногие работы посвящены квантовому аспекту проблемы. Классический кулоновский разрыв в чистой системе без беспорядка хорошо фиксируется в рамках расширенной динамической теории среднего поля (EDMFT), поддерживаемой моделированием Metropolis Monte Carlo.

Экспериментальные наблюдения

Прямое экспериментальное подтверждение существования разрыва было сделано с помощью туннельных экспериментов, в которых исследовалась одночастичная DOS в двух и трех измерениях. Эксперименты ясно показали линейный разрыв в двух измерениях и параболический разрыв в трех измерениях.Другое экспериментальное следствие кулоновской щели обнаружено в проводимости образцов в локализованном режиме.Существование щели в спектре возбуждений привело бы к более низкой проводимости, чем предсказывалось с помощью прыжков с переменным диапазоном Мотта . Если использовать аналитическое выражение одночастичной DOS в выводе Мотта, универсальное $e^{-1/T^{1/2}}$ зависимость получена для любой размерности. Ожидается, что это произойдет при температуре ниже определенной температуры, при которой оптимальная энергия прыжка будет меньше ширины кулоновской щели. Переход от Мотта к так называемому прыжку Эфроса–Шкловского с переменной дальностью наблюдался экспериментально для различных систем. Тем не менее строгий вывод формулы проводимости Эфроса–Шкловского не был предложен, и в некоторых экспериментах $e^{-1/T^{\alpha }}$ поведение наблюдается со значением $\alpha$ это не соответствует ни теории Мотта, ни теории Эфроса–Шкловского.

См. также

• Закон Кулона