Скачкообразное изменение диапазона

Прыжок с переменным диапазоном — это модель, используемая для описания транспорта носителей в неупорядоченном полупроводнике или аморфном твердом теле путем прыжка в расширенном температурном диапазоне. Имеет характерную температурную зависимость

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}$

где $\sigma$ проводимость и $\beta$ – параметр, зависящий от рассматриваемой модели.

Прыжок Мотта с переменным диапазоном

Прыжок Мотта . с переменной дальностью описывает низкотемпературную проводимость в сильно неупорядоченных системах с локализованными состояниями носителей заряда и имеет характерную температурную зависимость

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}$

для трехмерной проводимости (с $\beta$ = 1/4) и обобщается на d -размерности

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)}}$.

Скачковая проводимость при низких температурах представляет большой интерес из-за экономии, которую могла бы достичь полупроводниковая промышленность, если бы она смогла заменить монокристаллические устройства слоями стекла.

Вывод

В оригинальной статье Мотта было сделано упрощающее предположение о том, что энергия прыжка обратно пропорциональна кубу расстояния прыжка (в трехмерном случае). Позднее было показано, что это предположение излишне, и этому доказательству мы и следуем здесь. В оригинальной статье было замечено, что вероятность прыжка при данной температуре зависит от двух параметров: R - пространственного разделения узлов и W - их энергетического разделения. Апсли и Хьюз отметили, что в действительно аморфной системе эти переменные случайны и независимы и поэтому могут быть объединены в один параметр — диапазон $\textstyle {\mathcal {R}}$ между двумя сайтами, что определяет вероятность перехода между ними.

Мотт показал, что вероятность перехода между двумя состояниями пространственного разделения $\textstyle R$ а разделение энергии W имеет вид:

$P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]$

где α ⁻¹ — длина затухания водородоподобной локализованной волновой функции. Это предполагает, что переход в состояние с более высокой энергией является процессом, ограничивающим скорость.

Теперь мы определяем $\textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT$, диапазон между двумя состояниями, поэтому $\textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R}})$. Состояния можно рассматривать как точки четырехмерного случайного массива (три пространственные координаты и одна энергетическая координата), причем «расстояние» между ними определяется диапазоном $\textstyle {\mathcal {R}}$.

Проводимость является результатом множества серий прыжков через этот четырехмерный массив, и, поскольку предпочтение отдается прыжкам на короткие расстояния, именно среднее «расстояние» ближайших соседей между состояниями определяет общую проводимость. Таким образом, проводимость имеет вид

$\sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R}}}_{nn})$

где $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$это средний диапазон ближайших соседей. Поэтому проблема состоит в том, чтобы вычислить эту величину.

Первым шагом является получение $\textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})$, общее количество состояний в диапазоне $\textstyle {\mathcal {R}}$ некоторого начального состояния на уровне Ферми. Для d -размерностей и при определенных предположениях это оказывается

${\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}$

где $\textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d}}}$.Конкретные предположения просто заключаются в том, что $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$ значительно меньше ширины зоны и значительно больше межатомного расстояния.

Тогда вероятность того, что состояние с диапазоном $\textstyle {\mathcal {R}}$ является ближайшим соседом в четырехмерном пространстве (или вообще в ( d +1)-мерном пространстве)

$P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}}}}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]$

распределение ближайших соседей.

Для d -мерного случая тогда

${\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}$.

Это можно оценить, сделав простую замену $\textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}$ в гамма-функцию , $\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

После некоторой алгебры это дает

${\overline {\mathcal {R}}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1}})}{K^{\frac {1}{d+1}}}}$

и, следовательно, это

$\sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1}}}\right)$.

Непостоянная плотность состояний

Когда плотность состояний непостоянна (нечетный степенной закон N(E)), моттовская проводимость также восстанавливается, как показано в этой статье .

Efros–Shklovskii variable-range hopping

Смотрите также: Кулоновская щель

представляет Прыжок с переменным радиусом Эфроса-Шкловского (ES) собой модель проводимости, которая учитывает кулоновскую щель - небольшой скачок плотности состояний вблизи уровня Ферми из-за взаимодействия между локализованными электронами. Он был назван в честь Алексея Эфроса и Бориса Шкловского , предложивших его в 1975 году.

Учет кулоновской щели меняет температурную зависимость на

$\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2}}$

для всех измерений (т.е. $\beta$ = 1/2).

См. также

• Преимущество мобильности