Армированный твердый

В механике твердого тела армированное твердое тело представляет собой хрупкий материал, армированный пластичными стержнями или волокнами. Обычное применение – железобетон . Когда бетон трескается, растягивающая сила в трещине переносится уже не бетоном, а только стальной арматурой. Железобетон будет продолжать нести нагрузку при условии наличия достаточного армирования. Типичная задача проектирования — найти наименьшее количество арматуры, способной выдержать напряжения на небольшом кубе (рис. 1). Эту задачу можно сформулировать как задачу оптимизации .

Проблема оптимизации

Армирование направлено в направлениях x, y и z. Коэффициент армирования определяется в поперечном сечении арматурного стержня как площадь армирования. $A_{r}$ по всей площади $A$ , что представляет собой площадь хрупкого материала плюс площадь армирования.

\rho _{x}

=

A_{rx}

/

A_{x}

\rho _{y}

=

A_{ry}

/

A_{y}

\rho _{z}

=

A_{rz}

/

A_{z}

В случае железобетона коэффициент армирования обычно составляет от 0,1% до 2%. Предел текучести арматуры обозначается $f_{y}$ . Тензор напряжений хрупкого материала равен

\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]

.

Это можно интерпретировать как тензор напряжений композитного материала за вычетом напряжений, переносимых арматурой при текучести. Эта формулировка точна для коэффициента армирования менее 5%. Предполагается, что хрупкий материал не обладает прочностью на разрыв. (В случае железобетона это допущение необходимо, поскольку бетон имеет небольшие усадочные трещины.) Следовательно, основными напряжениями хрупкого материала должно быть сжатие. Главные напряжения тензора напряжений являются его собственными значениями .

Задача оптимизации формулируется следующим образом. Свернуть $\rho _{x}$ + $\rho _{y}$ + $\rho _{z}$ при условии, что все собственные значения тензора напряжений хрупкого материала меньше или равны нулю ( отрицательно-полуопределенный ). Дополнительные ограничения: $\rho _{x}$ ≥ 0, $\rho _{y}$ ≥ 0, $\rho _{z}$ ≥ 0.

Решение

Решение этой задачи можно представить в виде, наиболее удобном для ручных вычислений. ^[1]^[2] Его можно представить в графической форме. ^[3] Его также можно представить в форме, наиболее удобной для компьютерной реализации. ^[4]^[5] В этой статье показан последний метод.

Существует 12 возможных решений этой проблемы с армированием, которые показаны в таблице ниже. Каждая строка содержит возможное решение. В первом столбце указан номер решения. Во втором столбце приведены условия, при которых решение действительно. В столбцах 3, 4 и 5 приведены формулы расчета коэффициентов армирования.

	Состояние	$\rho _{x}$ $f_{y}$	$\rho _{y}$ $f_{y}$	$\rho _{z}$ $f_{y}$
1	$I_{1}$ ≤ 0, $I_{2}$ ≥ 0, $I_{3}$ ≤ 0	0	0	0
2	$\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2}$ > 0 $I_{1}(\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2})-I_{3}$ ≤ 0 $I_{2}(\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2})-I_{3}(\sigma _{yy}+\sigma _{zz})$ ≥ 0	${\frac {I_{3}}{\sigma _{yy}\sigma _{zz}-\sigma _{yz}^{2}}}$	0	0
3	$\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2}$ > 0 $I_{1}(\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2})-I_{3}$ ≤ 0 $I_{2}(\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2})-I_{3}(\sigma _{xx}+\sigma _{zz})$ ≥ 0	0	${\frac {I_{3}}{\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xz}^{2}}}$	0
4	$\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2}$ > 0 $I_{1}(\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2})-I_{3}$ ≤ 0 $I_{2}(\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2})-I_{3}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})$ ≥ 0	0	0	${\frac {I_{3}}{\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2}}}$
5	$\sigma _{xx}<0$	0	$\sigma _{yy}-{\frac {\sigma _{xy}^{2}}{\sigma _{xx}}}+\|\sigma _{yz}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}}}\|$	$\sigma _{zz}-{\frac {\sigma _{xz}^{2}}{\sigma _{xx}}}+\|\sigma _{yz}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}}}\|$
6	$\sigma _{yy}<0$	$\sigma _{xx}-{\frac {\sigma _{xy}^{2}}{\sigma _{yy}}}+\|\sigma _{xz}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yy}}}\|$	0	$\sigma _{zz}-{\frac {\sigma _{yz}^{2}}{\sigma _{yy}}}+\|\sigma _{xz}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yy}}}\|$
7	$\sigma _{zz}<0$	$\sigma _{xx}-{\frac {\sigma _{xz}^{2}}{\sigma _{zz}}}+\|\sigma _{xy}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xz}}{\sigma _{zz}}}\|$	$\sigma _{yy}-{\frac {\sigma _{yz}^{2}}{\sigma _{zz}}}+\|\sigma _{xy}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{yz}}{\sigma _{zz}}}\|$	0
8	$\sigma _{yz}+\sigma _{xz}+\sigma _{xy}$ ≥ 0 $\sigma _{xz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xz}$ ≥ 0	$\sigma _{xx}+\sigma _{xz}+\sigma _{xy}$	$\sigma _{yy}+\sigma _{yz}+\sigma _{xy}$	$\sigma _{zz}+\sigma _{yz}+\sigma _{xz}$
9	$-\sigma _{yz}-\sigma _{xz}+\sigma _{xy}$ ≥ 0 $-\sigma _{xz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xz}$ ≥ 0	$\sigma _{xx}-\sigma _{xz}+\sigma _{xy}$	$\sigma _{yy}-\sigma _{yz}+\sigma _{xy}$	$\sigma _{zz}-\sigma _{yz}-\sigma _{xz}$
10	$\sigma _{yz}-\sigma _{xz}-\sigma _{xy}$ ≥ 0 $\sigma _{xz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xz}$ ≥ 0	$\sigma _{xx}-\sigma _{xz}-\sigma _{xy}$	$\sigma _{yy}+\sigma _{yz}-\sigma _{xy}$	$\sigma _{zz}+\sigma _{yz}-\sigma _{xz}$
11	$-\sigma _{yz}+\sigma _{xz}-\sigma _{xy}$ ≥ 0 $-\sigma _{xz}\sigma _{xy}+\sigma _{yz}\sigma _{xy}-\sigma _{yz}\sigma _{xz}$ ≥ 0	$\sigma _{xx}+\sigma _{xz}-\sigma _{xy}$	$\sigma _{yy}-\sigma _{yz}-\sigma _{xy}$	$\sigma _{zz}-\sigma _{yz}+\sigma _{xz}$
12	$\sigma _{xy}\sigma _{xz}\sigma _{yz}<0$	$\sigma _{xx}-{\frac {\sigma _{xz}\sigma _{xy}}{\sigma _{yz}}}$	$\sigma _{yy}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xy}}{\sigma _{xz}}}$	$\sigma _{zz}-{\frac {\sigma _{yz}\sigma _{xz}}{\sigma _{xy}}}$

$I_{1}$ , $I_{2}$ и $I_{3}$ – инварианты напряжений тензора напряжений композиционного материала.

Алгоритм получения правильного решения прост. Вычислите коэффициенты армирования каждого возможного решения, которое удовлетворяет условиям. Далее игнорируйте решения с коэффициентом армирования меньше нуля. Вычислите значения $\rho _{x}$ + $\rho _{y}$ + $\rho _{z}$ и выберите решение, для которого это значение наименьшее. Главные напряжения в хрупком материале можно рассчитать как собственные значения тензора напряжений хрупкого материала, например, с помощью метода Якоби .

Формулы можно просто проверить, подставив коэффициенты армирования в тензор напряжений хрупкого материала и вычислив инварианты. Первый инвариант должен быть меньше или равен нулю. Второй инвариант должен быть больше или равен нулю. Они обеспечивают условия в столбце 2. Для решений со 2 по 12 третий инвариант должен быть равен нулю. ^[3]

Примеры

В таблице ниже показаны расчетные коэффициенты армирования для 10 тензоров напряжений. Приложенный предел текучести арматуры равен $f_{y}$ = 500 Н/мм². Массовая плотность арматурного стержня 7800 кг/м. ³. В таблице $\sigma _{m}$ – рассчитанное напряжение хрупкого материала. $m_{r}$ — оптимизированное количество армирования.

	$\sigma _{xx}$	$\sigma _{yy}$	$\sigma _{zz}$	$\sigma _{yz}$	$\sigma _{xz}$	$\sigma _{xy}$	$\rho _{x}$	$\rho _{y}$	$\rho _{z}$	$\sigma _{m}$	$m_{r}$
1	1 Н/мм²	2 Н/мм²	3 Н/мм²	-4 Н/мм²	3 Н/мм²	-1 Н/мм²	1.00%	1.40%	2.00%	-10,65 Н/мм²	343 кг/м ³
2	-5	2	3	4	3	1	0.00	1.36	1.88	-10.31	253
3	-5	-6	3	4	3	1	0.00	0.00	1.69	-10.15	132
4	-5	-6	-6	4	3	1	0.00	0.00	0.00	-10.44	0
5	1	2	3	-4	-3	-1	0.60	1.00	2.00	-10.58	281
6	1	-2	3	-4	3	2	0.50	0.13	1.80	-10.17	190
7	1	2	3	4	2	-1	0.40	1.00	1.80	-9.36	250
8	2	-2	5	2	-4	6	2.40	0.40	1.40	-15.21	328
9	-3	-7	0	2	-4	6	0.89	0.00	0.57	-14.76	114
10	3	0	10	0	5	0	1.60	0.00	3.00	-10.00	359

Безопасное приближение

Решение задачи оптимизации может быть приближено консервативно.

$\rho _{x}f_{y}$ ≤ $\sigma _{xx}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{xz}|$

$\rho _{y}f_{y}$ ≤ $\sigma _{yy}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}|$

$\rho _{z}f_{y}$ ≤ $\sigma _{zz}+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{yz}|$

Это можно доказать следующим образом. Для этой верхней оценки характеристический полином тензора напряжений хрупкого материала равен

$\lambda ^{3}+2(|\sigma _{yz}|+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{xy}|)\lambda ^{2}+3(|\sigma _{xz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xz}|)\lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}$ ,

который не имеет ни положительных корней , ни собственных значений.

Аппроксимацию легко запомнить, и ее можно использовать для проверки или замены результатов вычислений.

Расширение

Приведенное выше решение может быть очень полезно при проектировании армирования; однако он имеет некоторые практические ограничения. Следующие аспекты также могут быть включены, если проблема решена с помощью выпуклой оптимизации :

Несколько тензоров напряжений в одной точке из-за нескольких нагрузок на конструкцию вместо одного тензора напряжений.
Ограничение, налагаемое на ширину трещин на поверхности конструкции.
Касательное напряжение в трещине (агрегатный замок)
Армирование в других направлениях, кроме x, y и z
Арматурные стержни, которые уже были размещены в процессе проектирования армирования.
Вся конструкция вместо одного маленького материального кубика по очереди
Большой коэффициент армирования
Армирование сжатия

Бары в любом направлении

Арматурные стержни могут иметь направления, отличные от направлений x, y и z. В случае стержней в одном направлении тензор напряжений хрупкого материала вычисляется по формуле

$\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )&\cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]$

где $\alpha ,\beta ,\gamma$ — это углы стержней с осями x, y и z. Таким же образом можно добавить стержни в других направлениях.

Использование

Зачастую строители железобетонных конструкций по опыту знают, куда ставить арматуру. Компьютерные инструменты могут помочь в этом, проверив, достаточно ли предлагаемого усиления. Для этого критерий натяжения

Собственные значения $\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]$ должно быть меньше или равно нулю.

перезаписывается в,

Собственные значения $\left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]$ должно быть меньше или равно единице.

Последняя матрица представляет собой тензор использования. Наибольшим собственным значением этого тензора является коэффициент использования (проверка единства), который можно отобразить на контурном графике конструкции для всех сочетаний нагрузок, связанных с предельным состоянием .

Например, напряжение в каком-то месте конструкции равно $\sigma _{xx}$ = 4 Н/мм², $\sigma _{yy}$ = -10 Н/мм², $\sigma _{zz}$ = 3 Н/мм², $\sigma _{yz}$ = 3 Н/мм², $\sigma _{xz}$ = -7 Н/мм², $\sigma _{xy}$ = 1 Н/мм². Предел текучести арматуры равен $f_{y}$ = 500 Н/мм². Предлагаемое усиление $\rho _{x}$ = 1.4%, $\rho _{y}$ = 0.1%, $\rho _{z}$ = 1,9%. Собственные значения тензора использования равны -20,11, -0,33 и 1,32. Загрузка 1,32. Это показывает, что стержни перегружены и требуется на 32% больше арматуры.

Совместное разрушение бетона при сжатии и сдвиге можно проверить с помощью критерия Мора-Кулона, примененного к собственным значениям тензора напряжений хрупкого материала.

${\frac {\sigma _{1}}{f_{t}}}+{\frac {\sigma _{3}}{f_{c}}}$ ≤ 1,

где $\sigma _{1}$ самое большое главное напряжение, $\sigma _{3}$ - наименьшее главное напряжение, $f_{c}$ – прочность на одноосное сжатие (отрицательное значение), $f_{t}$ представляет собой фиктивную прочность на растяжение, основанную на экспериментах по сжатию и сдвигу.

Трещины в бетоне можно проверить, заменив предел текучести. $f_{y}$ в тензоре использования напряжением стержня, при котором возникает максимальная ширина трещины. (Это напряжение стержня зависит также от диаметра стержня, расстояния между стержнями и покрытия стержня .) Очевидно, что ширину трещин необходимо проверять только на поверхности конструкции на предмет напряженных состояний из-за комбинаций нагрузок, связанных с предельным состоянием работоспособности .

См. также

Ссылки

^ Андреасен Б.С., Нильсен М.П., Армирование бетона в трехмерном случае, Уведомления о статике зданий, Vol. 5 (1985), №. 2–3, стр. 25–79 (на датском языке).
^ Нильсен М.П., Хоанг Л.К., Предельный анализ и пластичность бетона, третье издание, CRC Press, 2011.
^ Jump up to: ^а ^б Фостер С.Дж., Марти П., Мойсилович Н., Проектирование твердых железобетонных изделий с использованием анализа напряжений, ACI Structural Journal, ноябрь-декабрь. 2003, стр. 758–764.
^ Hoogenboom PCJ, Де Бур А., «Расчет арматуры для твердого бетона», Heron, Vol. 53 (2008), № 4. С. 247-271.
^ Hoogenboom PCJ, Де Бур А., «Расчет оптимального армирования бетона в трех измерениях», Труды EURO-C 2010, Вычислительное моделирование бетонных конструкций, стр. 639-646, Редакторы Bicanic et al. Издательство CRC Press, Лондон.

[A-1] Андреасен Б.С., Нильсен М.П., Армирование бетона в трехмерном случае, Уведомления о статике зданий, Vol. 5 (1985), №. 2–3, стр. 25–79 (на датском языке).

[N-2] Нильсен М.П., Хоанг Л.К., Предельный анализ и пластичность бетона, третье издание, CRC Press, 2011.

[F-3] Jump up to: ^а ^б Фостер С.Дж., Марти П., Мойсилович Н., Проектирование твердых железобетонных изделий с использованием анализа напряжений, ACI Structural Journal, ноябрь-декабрь. 2003, стр. 758–764.

[H1-4] Hoogenboom PCJ, Де Бур А., «Расчет арматуры для твердого бетона», Heron, Vol. 53 (2008), № 4. С. 247-271.

[H2-5] Hoogenboom PCJ, Де Бур А., «Расчет оптимального армирования бетона в трех измерениях», Труды EURO-C 2010, Вычислительное моделирование бетонных конструкций, стр. 639-646, Редакторы Bicanic et al. Издательство CRC Press, Лондон.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]