Регулярное распределение (экономика)

Регулярность , иногда называемая Майерсона регулярностью , — это свойство вероятностных распределений, используемое в теории аукционов и управлении доходами . Примеры распределений, удовлетворяющих этому условию, включают гауссово , равномерное и экспоненциальное ; некоторые степенные распределения также удовлетворяют регулярности. ^[1]Распределения, удовлетворяющие условию регулярности, часто называют «регулярными распределениями».

Определения

В литературе встречаются два эквивалентных определения регулярности.Оба определены для непрерывных распределений, хотя аналоги для дискретных распределений также рассматривались. ^[2]

Вогнутость выручки в квантильном пространстве

Предположим, продавец продает с аукциона один предмет покупателю со случайной стоимостью. $v$ . За любую цену $p$ установлено продавцом, покупатель купит товар, если $v\geq p$ . Ожидаемый доход продавца равен $p\cdot \Pr[v\geq p]$ . Определим функцию дохода $R:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ следующее: $R(q)$ ожидаемый доход, который продавец получил бы, выбрав $p$ такой, что $\Pr[v\geq p]=q$ .Другими словами, $R(q)$ это доход, который можно получить, продав товар с (предполагаемой) вероятностью $q$ .Наконец, мы говорим, что распределение является регулярным, если $R$ является вогнутой функцией . ^[3]

Монотонная виртуальная оценка

Для кумулятивной функции распределения $F(v)$ и соответствующая функция плотности вероятности $f(v):=F'(v)$ , виртуальная оценка агента определяется как

w(v):=v-{\frac {1-F(v)}{f(v)}}

Распределение оценок называется регулярным, если $w$ — монотонная неубывающая функция. ^[3]

Приложения

Аукцион Майерсона

Важный частный случай ^{[примечание 1]} рассмотрел Майерсон (1981) проблему продавца, продающего с аукциона один предмет одному или нескольким покупателям, чьи оценки этого предмета получены на основе независимых распределений. Майерсон показал, что проблема продавца, правдиво максимизирующего свою прибыль, эквивалентна максимизации «виртуального общественного благосостояния», то есть ожидаемой виртуальной оценки участника торгов, который получает товар.

Когда распределения оценок участников торгов являются регулярными, виртуальные оценки монотонны по сравнению с реальными оценками, что означает, что переход к виртуальным оценкам совместим со стимулами.Таким образом, аукцион Викри можно использовать для максимизации виртуального общественного благосостояния (с дополнительными резервными ценами, гарантирующими неотрицательные виртуальные оценки).Когда распределения нерегулярны, сглаживания . для преобразования их в регулярные распределения используется более сложная процедура ^[4]

Предварительно независимая конструкция механизма

Упомянутый выше аукцион Майерсона является оптимальным, если продавец имеет точную априорную оценку , то есть хорошую оценку распределения оценок, которые участники торгов могут иметь за предмет.Получение такого хорошего априора может быть весьма нетривиальным или даже невозможным. Разработка независимого от априора механизма направлена на разработку механизмов для продавцов (и агентов в целом), которые не имеют доступа к такому априору.

Регулярные распределения являются общим допущением при проектировании априорно-независимых механизмов.Например, плодотворная работа Бюлова и Клемперера (1996) доказала, что если оценки участников торгов по одному объекту являются регулярными и одинаковыми (или идентичными и связанными), доход, полученный от продажи на аукционе английском $n+1$ участников торгов доминирует над доходом, полученным от продажи с помощью любого механизма (в частности, оптимального механизма Майерсона) $n$ участники торгов.

Примечания

^ Майерсон различает «неопределенность предпочтений», которая, как мы ожидаем, будет независимой для каждого участника торгов, и «неопределенность качества», которая рассматривается в более общей модели, где личная информация одного участника торгов влияет на оценку других участников торгов и даже на стоимость товар продавцу.

Ссылки

^ Тим Рафгарден (2014). «Приблизительно оптимальная конструкция механизма: мотивация, примеры и извлеченные уроки». Биржи SIGecom . 13 (2): 4–20. arXiv : 1406.6773 . Бибкод : 2014arXiv1406.6773R . дои : 10.1145/2728732.2728733 . S2CID 482665 .
^ Эдит Элкинд (2007). Проектирование и изучение оптимальных аукционов с конечной поддержкой . СОДА 2007. СИАМ . стр. 736–745. ISBN 978-0-898716-24-5 .
^ Jump up to: ^а ^б Хартлайн, Джейсон (2012). «3,3» . Проектирование и приближение механизмов .
^ Майерсон, Роджер (февраль 1981 г.). «Оптимальный аукционный дизайн». Математика исследования операций . 6 (1). ИНФОРМ : 58–73. дои : 10.1287/moor.6.1.58 . S2CID 12282691 .

Источники

Бюлов, Джереми; Клемперер, Пол (март 1996 г.). «Аукционы против переговоров» . Американский экономический обзор . 86 (1). Американская экономическая ассоциация : 180–194.

[4] Майерсон различает «неопределенность предпочтений», которая, как мы ожидаем, будет независимой для каждого участника торгов, и «неопределенность качества», которая рассматривается в более общей модели, где личная информация одного участника торгов влияет на оценку других участников торгов и даже на стоимость товар продавцу.

[Roughgarden14-1] Тим Рафгарден (2014). «Приблизительно оптимальная конструкция механизма: мотивация, примеры и извлеченные уроки». Биржи SIGecom . 13 (2): 4–20. arXiv : 1406.6773 . Бибкод : 2014arXiv1406.6773R . дои : 10.1145/2728732.2728733 . S2CID 482665 .

[Elkind07-2] Эдит Элкинд (2007). Проектирование и изучение оптимальных аукционов с конечной поддержкой . СОДА 2007. СИАМ . стр. 736–745. ISBN 978-0-898716-24-5 .

[Hartline-3] Jump up to: ^а ^б Хартлайн, Джейсон (2012). «3,3» . Проектирование и приближение механизмов .

[5] Майерсон, Роджер (февраль 1981 г.). «Оптимальный аукционный дизайн». Математика исследования операций . 6 (1). ИНФОРМ : 58–73. дои : 10.1287/moor.6.1.58 . S2CID 12282691 .

[1]

[2]

[3]

[примечание 1]

[4]