Парадокс Пробтинга

В теории вероятностей парадокс Пробстинга — это аргумент, который, по-видимому, показывает, что критерий Келли может привести к краху. Хотя ее можно решить математически, она поднимает некоторые интересные вопросы о практическом применении метода Келли, особенно в инвестировании. Его назвал и впервые обсудил Эдвард О. Торп в 2008 году. Парадокс был назван в честь Тодда Пробстинга его создателя .

Заявление о парадоксе

Если ставка имеет одинаковую вероятность выигрыша или проигрыша и выигрыш выплачивается в b раз больше ставки, ставка Келли равна:

$f^{*}={\frac {b-1}{2b}}\!$

раз богатство. Например, если ставка 50/50 приносит выигрыш 2 к 1, Келли советует поставить 25% богатства. Если ставка 50/50 принесет прибыль 5 к 1, Келли советует поставить 40% богатства.

Теперь предположим, что игроку предлагается выплата 2 к 1, и он делает ставку 25%. Что ему делать, если выплата по новым ставкам изменится до 5 к 1? Ему следует выбрать f *, чтобы максимизировать:

$0.5\ln(1.5+5f^{*})+0.5\ln(0.75-f^{*})\!$

потому что, если он выиграет, у него будет 1,5 (0,5 от выигрыша ставки 25% с коэффициентом 2 к 1) плюс 5 f *; а в случае проигрыша он должен заплатить 0,25 с первой ставки и ж * со второй. Взяв производную по f * и приравняв ее нулю, получим:

$5(0.75-f^{*})=1.5+5f^{*}\!$

который можно переписать:

$2.25=10f^{*}\!$

Значит f * = 0,225.

Парадокс заключается в том, что общая ставка 0,25 + 0,225 = 0,475 больше, чем ставка Келли 0,4, если с самого начала предлагаются коэффициенты 5 к 1. Это противоречит здравому смыслу, когда вы ставите больше, когда некоторые ставки имеют неблагоприятный коэффициент. Тодд Пробстинг отправил электронное письмо Эду Торпу с вопросом об этом.

Эд Торп понял, что эту идею можно расширить, чтобы дать игроку, делающему ставку на Келли, ненулевую вероятность разорения. Он показал, что если игроку предложить коэффициент 2 к 1, затем 4 к 1, затем 8 к 1 и так далее (2 ^н до 1 при n = 1 до бесконечности) Келли говорит делать ставку:

${\frac {3^{n-1}}{4^{n}}}\!$

каждый раз. Сумма всех этих ставок равна 1. Таким образом, игрок Келли имеет 50% шанс потерять все свое богатство.

В общем, если игрок делает ставку Келли на предложение 50/50 с выплатой b1 _, а затем ему предлагается b2 _, он сделает ставку в общей сложности:

$f^{*}={\frac {b_{2}-1}{2b_{2}}}+{\frac {b_{1}-1}{4}}\left({\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {1}{f_{2}}}\right).\!$

Первое условие — это то, на что поставил бы игрок, если бы изначально ему предложили _b2 . Второй член положителен, если f ₂ > f ₁ , что означает, что если выплата улучшится, игрок, делающий ставку на Келли, сделает ставку больше, чем он сделал бы, если бы ему просто предложили вторую выплату, а если выплата ухудшится, он сделает ставку меньше, чем если бы ему предложили. только вторая выплата.

Практическое применение

Многие ставки имеют особенность: выплаты и вероятности могут меняться до того, как будет определен результат. Например, в ставках на спорт линия может меняться несколько раз до проведения события, и могут выходить новости (например, травма или прогноз погоды), которые меняют вероятность результата. При инвестировании акции, первоначально купленные по цене 20 долларов за акцию, теперь могут быть доступны по цене 10, 30 долларов или по любой другой цене. Некоторые игроки, делающие ставки на спорт, пытаются получить доход, ожидая изменения линий, а не прогнозируя исход событий. Некоторые трейдеры концентрируются на возможных краткосрочных ценовых движениях ценной бумаги, а не на ее долгосрочных фундаментальных перспективах.

Классический пример инвестирования — трейдер, у которого есть лимиты риска, скажем, ему не разрешено рисковать более чем на 1 миллион долларов по какой-либо одной акции. Это не значит, что он не может потерять более 1 миллиона долларов. Если он купит акции на 1 миллион долларов по цене 20 долларов, а цена вырастет до 10 долларов, он сможет купить еще 500 000 долларов. Если затем цена достигнет 5 долларов, он сможет купить еще 500 000 долларов. Если он упадет до нуля, он может потерять бесконечную сумму денег, несмотря на то, что никогда не рискует более чем на 1 миллион долларов.

Разрешение

Никакого парадокса нет. Критерий Келли – максимизировать ожидаемые темпы роста; только при ограниченных условиях это соответствует максимизации журнала. Один из простых способов отвергнуть этот парадокс — отметить, что Келли предполагает, что вероятности не меняются.

Игрок, делающий ставку на Келли, который знает, что коэффициенты могут измениться, может учесть это при составлении более сложной ставки на Келли. Например, предположим, что игроку, делающему ставку на Келли, предоставляется единоразовая возможность сделать ставку на предложение 50/50 с коэффициентом 2 к 1. Он знает, что существует 50% вероятность того, что вторая разовая возможность будет предложена с коэффициентом 5 к 1. Теперь он должен максимизировать:

$0.25\ln(1+2f_{1})+0.25\ln(1-f_{1})+0.25\ln(1+2f_{1}+5f_{2})+0.25\ln(1-f_{1}-f_{2})\!$

относительно как f _{1 ,} так и f ₂ . Ответом будет ставка 0 к 2 к 1 и дождитесь возможности сделать ставку 5 к 1, и в этом случае вы поставите 40% богатства. Если вероятность предложения коэффициента 5 к 1 меньше 50%, некоторая сумма от 0 до 25% будет поставлена ​​с коэффициентом 2 к 1. Если вероятность предложения коэффициента 5 к 1 превышает 50%, игрок, делающий ставку по Келли на самом деле сделает отрицательную ставку с коэффициентом 2 к 1 (то есть ставку на результат 50/50 с выплатой 1/2, если он выиграет, и выплатой 1, если он проигрывает). В любом случае его ставка с коэффициентом 5 к 1, если предоставляется такая возможность, составляет 40% минус 0,7 от его ставки 2 к 1.

По сути, парадокс заключается в том, что если игрок, делающий ставку на Келли, имеет неверные представления о том, какие будущие ставки могут быть предложены, он может сделать неоптимальный выбор и даже разориться. Предполагается, что критерий Келли работает лучше, чем любая существенно другая стратегия в долгосрочной перспективе, и имеет нулевой шанс разорения, если игрок знает вероятности и выплаты.

Дополнительный свет на эти вопросы пролило независимое рассмотрение проблемы Аароном Брауном , о котором также сообщили Эду Торпу по электронной почте. В этой формулировке предполагается, что игрок сначала продает первоначальную ставку, а затем делает новую ставку при второй выплате. В этом случае его общая ставка составит:

$f^{*}={\frac {b_{2}-1}{2b_{2}}}-{\frac {b_{1}-1}{4}}\left({\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {1}{f_{2}}}\right){\frac {f_{2}-1}{f_{2}+1}}\!$

которая очень похожа на приведенную выше формулу для формулировки Пробстинг, за исключением того, что знак меняется на второй член и он умножается на дополнительный член.

Например, учитывая первоначальный пример выплаты 2 к 1, за которой следует выплата 5 к 1, в этой формулировке игрок сначала ставит 25% богатства по ставке 2 к 1. Когда предлагается выплата 5 к 1, игрок может продать верните первоначальную ставку с потерей 0,125. Его ставка 2 к 1 приносит 0,5, если он выиграет, и стоит 0,25, если он проиграет. При новой выплате 5 к 1 он мог бы получить ставку, которая выплатит 0,625, если он выиграет, и будет стоить 0,125, если он проиграет, что на 0,125 лучше, чем его первоначальная ставка в обоих состояниях. Поэтому его первоначальная ставка теперь имеет значение -0,125. Учитывая его новый уровень богатства 0,875, его ставка 40% (сумма Келли для выплаты 5 к 1) составляет 0,35.

Обе формулы эквивалентны. В исходной формулировке у игрока есть ставка 0,25 при 2 к 1 и ставка 0,225 при 5 к 1. Если он выиграет, он получит 2,625, а если проиграет, то 0,525. Во второй формулировке у игрока есть ставка 0,875 и 0,35 при соотношении 5 к 1. Если он выиграет, он получит 2,625, а если проиграет, то 0,525.

Вторая формулировка ясно показывает, что изменение поведения является результатом потерь при переоценке по рынку, которые инвестор испытывает, когда предлагается новая выплата. Это естественный образ мышления в сфере финансов, менее естественный для игрока. В этой интерпретации бесконечная серия удвоений выплат не разоряет игрока, делающего ставку на Келли, побуждая его делать овербет, а извлекает все его богатство посредством изменений, находящихся вне его контроля.