Теорема Сюя – Роббинса – Эрдеша

В математической теории вероятностей теорема Сюя-Роббинса-Эрдёша утверждает, что если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ представляет собой последовательность iid случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией и

S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n},\,

затем

\sum \limits _{n\geqslant 1}P(|S_{n}|>\varepsilon n)<\infty

для каждого $\varepsilon >0$ .

Результат доказали Пао-Лу Сюй и Герберт Роббинс в 1947 году.

Это интересное усиление классического сильного закона больших чисел в направлении леммы Бореля–Кантелли . Идея такого результата, вероятно, принадлежит Роббинсу, но метод доказательства — старинный Сюй. ^{[ 1 ]} Сюй и Роббинс далее предположили в ^{[ 2 ]} что условие конечности дисперсии $X$ также является необходимым условием $\sum \limits _{n\geqslant 1}P(|S_{n}|>\varepsilon n)<\infty$ держать. Два года спустя знаменитый математик Пауль Эрдеш доказал эту гипотезу. ^{[ 3 ]}

С тех пор многие авторы расширили этот результат в нескольких направлениях. ^{[ 4 ]}

Ссылки

^ Чунг, КЛ (1979). Работа Сюя по вероятности. Анналы статистики, 479–483.
^ Сюй, PL, и Роббинс, Х. (1947). Полная сходимость и закон больших чисел. Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 33 (2), 25.
^ Эрдос, П. (1949). Об одной теореме Сюя и Роббинса. Анналы математической статистики, 286–291.
^ Теорема Сюя-Роббинса для коррелированных последовательностей

[1] Чунг, КЛ (1979). Работа Сюя по вероятности. Анналы статистики, 479–483.

[2] Сюй, PL, и Роббинс, Х. (1947). Полная сходимость и закон больших чисел. Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 33 (2), 25.

[3] Эрдос, П. (1949). Об одной теореме Сюя и Роббинса. Анналы математической статистики, 286–291.

[4] Теорема Сюя-Роббинса для коррелированных последовательностей

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]