Акустическая потоковая передача

Акустическое течение — это устойчивый поток жидкости, вызванный поглощением акустических колебаний высокой амплитуды. Это явление можно наблюдать вблизи излучателей звука или в стоячих волнах внутри трубки Кундта . Впервые понятие акустического потока было объяснено лордом Рэлеем в 1884 году. Это менее известная противоположность генерации звука потоком.

Есть две ситуации, когда звук поглощается средой распространения:

• при распространении в объемном потоке («поток Эккарта»). Коэффициент затухания $\alpha =2\eta \omega ^{2}/(3\rho c^{3})$, по закону Стокса (затухание звука) . Этот эффект более интенсивен на повышенных частотах и ​​значительно сильнее в воздухе (где затухание происходит на характерном расстоянии $\alpha ^{-1}$~10 см на частоте 1 МГц), чем в воде ( $\alpha ^{-1}$~100 м на частоте 1 МГц). В воздухе он известен как Кварцевый ветер .
• вблизи границы («поток Рэлея»). Либо когда звук достигает границы, либо когда граница вибрирует в неподвижной среде. Стенка, колеблющаяся параллельно самой себе, генерирует поперечную волну уменьшенной амплитуды внутри колеблющегося Стокса пограничного слоя . Этот эффект локализован на длине затухания характерного размера $\delta =[\eta /(\rho \omega )]^{1/2}$ порядок величины которого составляет несколько микрометров как в воздухе, так и в воде на частоте 1 МГц. Струйный поток, возникающий за счет взаимодействия звуковых волн и микропузырьков, эластичных полимеров, и даже биологические клетки являются примерами акустического потока, управляемого границами.

Рэлей потоковое

Рассмотрим плоскую стоячую звуковую волну, соответствующую полю скорости $U(x,t)=v_{0}\cos kx\cos \omega t=\varepsilon \cos kx\Re (e^{-i\omega t})$ где $k=2\pi /\lambda =\omega /c$. Пусть характерный (поперечный) размер задачи равен $l$. Только что описанное поле течения соответствует невязкому течению. Однако вязкие эффекты будут важны вблизи твердой стены; тогда существует пограничный слой толщиной или глубиной проникновения $\delta =(2\nu /\omega )^{1/2}$. Потоковая передача Рэлея лучше всего визуализируется в приближении $\lambda \gg l\gg \delta .$ Как в $U(x,t)$, компоненты скорости $(u,v)$ намного меньше, чем $c$. Кроме того, характерный масштаб времени внутри пограничного слоя очень велик (из-за малости $\delta$) по сравнению с акустической шкалой времени $l/c$. Из этих наблюдений следует, что течение в пограничном слое можно считать несжимаемым.

Нестационарное уравнение несжимаемого пограничного слоя имеет вид

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial t}}$

где правые члены соответствуют градиенту давления, действующему на пограничный слой. Проблему можно решить с помощью функции потока $\psi$ это удовлетворяет $u=\partial \psi /\partial y$ и $v=-\partial \psi /\partial x.$ Поскольку по определению поле скорости $U$ в звуковой волне очень мала, формальное решение уравнения пограничного слоя можно получить, введя асимптотический ряд для $\varepsilon \rightarrow 0$ как $u=\varepsilon u_{1}+\varepsilon ^{2}u_{2}+\cdots$, $\psi =\varepsilon \psi _{1}+\varepsilon ^{2}\psi _{2}\cdots$ и т. д.

В первом приближении получается

${\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}=-\omega \cos kx\Re (ie^{-i\omega t}).$

Решение, удовлетворяющее условию прилипания у стены. $y/\delta =0$ и подходы $U$ как $y/\delta \rightarrow \infty$ дается

$u_{1}=\Re \left[\cos kx\,(1-e^{-\kappa y})\,e^{-i\omega t}\right],\quad \psi _{1}=\Re \left[\cos kx\,\zeta _{1}(y)\,e^{-i\omega t}\right]$

где $\kappa =(1-i)/\delta$ и $\zeta _{1}=y+(e^{-\kappa y}-1)/\kappa .$

Уравнение следующего порядка:

${\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}-u_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-v_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}.$

Поскольку каждый член в правой части квадратичен, это приведет к слагаемым с частотами $\omega +\omega =2\omega$ и $\omega -\omega =0.$ $\omega =0$ члены соответствуют независимому от времени воздействию для $u_{2}$. Найдем решение, соответствующее только этой нестационарной части. Это приводит к $\psi _{2}=\sin 2kx\,\zeta _{2}(y)/c$ где $\zeta _{2}$ удовлетворяет уравнению

$2\delta \zeta _{2}'''=1-|\zeta _{1}'|^{2}+\Re (\zeta _{1}\zeta _{1}'')$

Рэлей потоковое

где штрих означает дифференцирование по $y.$ Граничное условие на стене означает, что $\zeta (0)=\zeta '(0)=0.$ Как $y/\delta \rightarrow \infty$, $\zeta _{2}$ должно быть конечным. Интегрирование приведенного выше уравнения дважды дает

$\zeta _{2}'={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}e^{-2y/\delta }-e^{-y/\delta }\left[\sin {\frac {y}{\delta }}+{\frac {1}{4}}\cos {\frac {y}{\delta }}+{\frac {y}{4\delta }}\left(\sin {\frac {y}{\delta }}-\cos {\frac {y}{\delta }}\right)\right].$

Как $y/\delta \rightarrow \infty$, $\zeta '(\infty )=3/8$ приводящие к тому результату, что $v_{2}(x,\infty ,t)=(3/8c)\sin 2kx.$ Таким образом, на краю границы существует установившееся движение жидкости, наложившееся на колебательное движение. Это воздействие скорости будет вызывать устойчивое потоковое движение за пределами пограничного слоя. Интересный результат состоит в том, что, поскольку $v_{2}(\infty )$ не зависит от $\nu$, установившееся потоковое движение, происходящее вне пограничного слоя, также не зависит от вязкости, хотя его возникновение обусловлено вязким пограничным слоем.

Внешнее стационарное движение несжимаемой жидкости будет зависеть от геометрии задачи. Если есть две стены, одна на $y=0$ и $y=2h$, то решение

$\psi _{2}={\frac {3}{16c}}\sin 2kx\,[-(y-h)+(y-h)^{3}/h^{2}]$

что соответствует периодическому массиву вихрей, вращающихся в противоположных направлениях, как показано на рисунке.

Происхождение: объемная сила, возникающая вследствие поглощения звука в жидкости.

Акустическое потокообразование представляет собой нелинейный эффект. Мы можем разложить поле скорости на вибрационную и стационарную части. ${u}=v+{\overline {u}}$.Вибрационная часть $v$ обусловлена ​​звуком, а установившаяся часть — это скорость акустического течения (средняя скорость). Из уравнений Навье – Стокса для скорости акустического течения следует:

${\overline {\rho }}{\partial _{t}{\overline {u}}_{i}}+{\overline {\rho }}{\overline {u}}_{j}{\partial _{j}{\overline {u}}_{i}}=-{\partial {\overline {p}}_{i}}+\eta {\partial _{j}^{2}{\overline {u}}_{i}}-{\partial _{j}}({\overline {\rho v_{i}v_{j}}}/{\partial x_{j}}).$

Устойчивое течение возникает из-за постоянной силы тела. $f_{i}=-{\partial }({\overline {\rho v_{i}v_{j}}})/{\partial x_{j}}$ который появляется с правой стороны. Эта сила является функцией так называемых напряжений Рейнольдса в турбулентности. $-{\overline {\rho v_{i}v_{j}}}$. Напряжение Рейнольдса зависит от амплитуды звуковых колебаний, а объемная сила отражает уменьшение этой звуковой амплитуды.

Мы видим, что это напряжение нелинейно ( квадратично ) по амплитуде скорости. Оно не обращается в нуль только при изменении амплитуды скорости. Если скорость жидкости колеблется из-за звука как $\epsilon \cos(\omega t)$, квадратичная нелинейность порождает постоянную силу, пропорциональную $\scriptstyle {\overline {\epsilon ^{2}\cos ^{2}(\omega t)}}=\epsilon ^{2}/2$.

Порядок величины скоростей акустического потока

Даже если вязкость является причиной акустического течения, значение вязкости исчезает из результирующих скоростей течения в случае приграничного акустического течения.

Порядок величины скоростей потока:

• вблизи границы (вне пограничного слоя):

$U\sim -{3}/{(4\omega )}\times v_{0}dv_{0}/dx,$

с $v_{0}$ скорость звуковых колебаний и $x$ по границе стены. Поток направлен в сторону уменьшения звуковых колебаний (узлов вибрации).

• возле вибрирующего пузыря радиуса покоя a, радиус которого пульсирует с относительной амплитудой $\epsilon =\delta r/a$ (или $r=\epsilon a\sin(\omega t)$), и центр масс которого также периодически перемещается с относительной амплитудой $\epsilon '=\delta x/a$ (или $x=\epsilon 'a\sin(\omega t/\phi )$). с фазовым сдвигом $\phi$

$\displaystyle U\sim \epsilon \epsilon 'a\omega \sin \phi$

• далеко от стен $U\sim \alpha P/(\pi \mu c)$ вдали от начала потока (с $P$акустическая мощность, $\mu$ динамическая вязкость и $c$ скорость звука). Ближе к началу потока скорость масштабируется как корень $P$.

• было показано, что даже биологические виды, например, прикрепившиеся клетки, также могут демонстрировать акустический поток при воздействии акустических волн. Клетки, прилипшие к поверхности, могут генерировать акустический поток порядка мм/с, не отрываясь от поверхности.

См. также

• Акустические пинцеты