изохрона

Не путать с изохроной .

Чтобы узнать о препарате с торговым названием Изохрон, см. Изосорбида динитрат .

Чтобы узнать о методе радиометрического датирования, см. Изохронное датирование .

В математической теории динамических систем изохрона — это набор начальных условий системы, которые приводят к одному и тому же долгосрочному поведению.

Математическая изохрона

Вводный пример

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение для решения $y(t)$ развивается во времени:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}=1$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) нуждается в двух начальных условиях , скажем, в момент времени $t=0$. Обозначим начальные условия через $y(0)=y_{0}$ и $dy/dt(0)=y'_{0}$ где $y_{0}$ и $y'_{0}$ это некоторые параметры. Следующий аргумент показывает, что изохронами для этой системы здесь являются прямые линии $y_{0}+y'_{0}={\mbox{constant}}$.

Общее решение приведенного выше ОДУ:

$y=t+A+B\exp(-t)$

Теперь, когда время увеличивается, $t\to \infty$экспоненциальные члены очень быстро затухают до нуля ( экспоненциальное затухание ). При этом все решения ОДУ быстро приближаются $y\to t+A$. То есть все решения с одинаковым $A$ имеют такую ​​же долгосрочную эволюцию. Экспоненциальное затухание ​ $B\exp(-t)$ term объединяет множество решений, разделяющих одну и ту же долгосрочную эволюцию. Найдите изохроны, ответив, какие начальные условия имеют одинаковые $A$.

В начальный момент $t=0$ у нас есть $y_{0}=A+B$ и $y'_{0}=1-B$. Алгебраически устранить нематериальную константу $B$ из этих двух уравнений вывести, что все начальные условия $y_{0}+y'_{0}=1+A$ иметь то же самое $A$, следовательно, такая же долгосрочная эволюция и, следовательно, образуют изохрону.

Для точного прогнозирования необходимы изохроны

Обратимся к более интересному применению понятия изохрон. Изохроны возникают при попытке спрогнозировать предсказания на основе моделей динамических систем. Рассмотрим игрушечную систему двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений

${\frac {dx}{dt}}=-xy{\text{ and }}{\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}$

Замечательным математическим трюком является преобразование нормальной формы (математическое) . Здесь преобразование координат вблизи начала координат

$x=X+XY+\cdots {\text{ and }}y=Y+2Y^{2}+X^{2}+\cdots$

к новым переменным $(X,Y)$ преобразует динамику в разделенную форму

${\frac {dX}{dt}}=-X^{3}+\cdots {\text{ and }}{\frac {dY}{dt}}=(-1-2X^{2}+\cdots )Y$

Следовательно, вблизи начала координат $Y$ экспоненциально быстро затухает до нуля, поскольку его уравнение имеет вид $dY/dt=({\text{negative}})Y$. Таким образом, долгосрочная эволюция определяется исключительно $X$: $X$ уравнение является моделью.

Давайте воспользуемся $X$ уравнение для предсказания будущего. Учитывая некоторые начальные значения $(x_{0},y_{0})$ исходных переменных: какое начальное значение мы должны использовать для $X(0)$? Ответ: $X_{0}$ который имеет такую ​​же долгосрочную эволюцию. В нормальной форме, приведенной выше, $X$ развивается независимо от $Y$. Итак, все начальные условия с одинаковыми $X$, но другой $Y$, имеют такую ​​же долгосрочную эволюцию. Исправить $X$ и варьироваться $Y$ дает изогнутые изохроны в $(x,y)$ самолет. Например, очень близко к началу координат изохроны указанной системы представляют собой примерно линии $x-Xy=X-X^{3}$. Найдите, какая изохрона имеет начальные значения $(x_{0},y_{0})$ ложь: эта изохрона характеризуется каким-то $X_{0}$; тогда начальное условие, которое дает правильный прогноз модели на все времена, равно $X(0)=X_{0}$.

Такие преобразования нормальной формы для относительно простых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, как детерминированных, так и стохастических, можно найти на интерактивном веб-сайте. [1]