Теорема Иссерлиса

Результаты квантовой теории поля о произведениях операторов рождения и уничтожения см. в теореме Вика .

В вероятностей теории теорема Иссерлиса или теорема вероятности Вика — это формула, которая позволяет вычислить моменты более высокого порядка многомерного нормального распределения с точки зрения его ковариационной матрицы. Он назван в честь Леона Иссерлиса .

Эта теорема также особенно важна в физике элементарных частиц , где она известна как теорема Вика в честь работы Вика (1950) . Другие приложения включают анализ доходности портфеля, квантовая теория поля и генерация цветного шума.

Заявление

Если $(X_{1},\dots ,X_{n})$ случайным вектором с нулевым средним является многомерным нормальным , тогда $$\operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),$$где сумма рассчитана по всем парам $\{1,\ldots ,n\}$, т.е. все различные способы разделения $\{1,\ldots ,n\}$ на пары $\{i,j\}$, а произведение находится по парам, содержащимся в $p$.

В более общем смысле, если $(Z_{1},\dots ,Z_{n})$ является комплексным многомерным нормальным случайным вектором с нулевым средним значением , то формула по-прежнему справедлива.

Выражение в правой части также известно как гафниан ковариационной матрицы $(X_{1},\dots ,X_{n})$.

Странный случай

Если $n=2m+1$ странно, не существует никакой пары $\{1,\ldots ,2m+1\}$. Согласно этой гипотезе, из теоремы Иссерлиса следует, что $$\operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.$$Это также следует из того, что $-X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})$ имеет то же распределение, что и $X$, что означает, что $\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0$.

Четный случай

В своей оригинальной статье Леон Иссерлис доказывает эту теорему методом математической индукции, обобщая формулу для $4^{\text{th}}$ заказные моменты, который принимает вид

$\operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].$

Если $n=2m$ четно, существуют $(2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!$ (см. двойной факториал ) парные разбиения $\{1,\ldots ,2m\}$: это дает $(2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!$ условия в сумме. Например, для $4^{\text{th}}$ моменты порядка (т.е. $4$ случайные величины) есть три члена. Для $6^{\text{th}}$-моменты заказа есть $3\times 5=15$ условиях, и для $8^{\text{th}}$-моменты заказа есть $3\times 5\times 7=105$ условия.

Пример

Мы можем оценить характеристическую функцию гауссианов по теореме Иссерлиса: $$E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}$$

Доказательство

Поскольку обе части формулы полилинейны по $X_{1},...,X_{n}$, если мы сможем доказать реальный случай, мы получим сложный случай бесплатно.

Позволять $\Sigma _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})$ — ковариационная матрица, так что мы имеем многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним значением $(X_{1},...,X_{n})\sim N(0,\Sigma )$. Поскольку обе части формулы непрерывны относительно $\Sigma$, достаточно доказать случай, когда $\Sigma$ является обратимым.

Использование квадратичной факторизации $-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x-v^{T}\Sigma v/2=-(x-\Sigma v)^{T}\Sigma ^{-1}(x-\Sigma v)/2$, мы получаем

$${\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}\int e^{-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x}dx=e^{v^{T}\Sigma v/2}$$

Дифференцируем под знаком интеграла с $\partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}$ чтобы получить

$$E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}$$.

То есть нам нужно найти только коэффициент при слагаемом $v_{1}\cdots v_{n}$ в разложении Тейлора $e^{v^{T}\Sigma v/2}$.

Если $n$ нечетно, это ноль. Так что пусть $n=2m$, то нам нужно найти только коэффициент при слагаемом $v_{1}\cdots v_{n}$ в полиноме ${\frac {1}{m!}}(v^{T}\Sigma v/2)^{m}$.

Разложим многочлен и посчитаем, получим формулу. $\square$

Обобщения

Гауссово интегрирование по частям

Эквивалентной формулировкой формулы вероятности Вика является интегрирование по Гауссу по частям . Если $(X_{1},\dots X_{n})$ случайным вектором с нулевым средним является многомерным нормальным , тогда

$$\operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).$$Это обобщение леммы Стейна .

Формулу вероятности Вика можно восстановить индукцией, рассматривая функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяется $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}$. Помимо прочего, эта формулировка важна в конформной теории поля Лиувилля для получения конформных тождеств Уорда , уравнений БПЗ и доказать формулу Федорова-Бушо .

Негауссовы случайные величины

Для негауссовых случайных величин моментных кумулянтов формула заменяет формулу вероятности Вика. Если $(X_{1},\dots X_{n})$ — вектор случайных величин , то $$\operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},$$где сумма находится по разбиениям всем $\{1,\ldots ,n\}$, продукт превышает блоки $p$ и $\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}$ является совместным кумулянтом $(X_{i})_{i\in b}$.

См. также

• Теорема Вика
• Кумулянты
• Нормальное распределение

Дальнейшее чтение

• Купманс, Ламберт Г. (1974). Спектральный анализ временных рядов . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press .