Бесконечномерная оптимизация

В некоторых задачах оптимизации неизвестное оптимальное решение может быть не числом или вектором, а непрерывной величиной, например функцией или формой тела. Такая проблема является задачей бесконечномерной оптимизации , поскольку непрерывная величина не может быть определена конечным числом определенных степеней свободы .

Примеры

Найдите кратчайший путь между двумя точками плоскости. Переменными в этой задаче являются кривые, соединяющие две точки. Оптимальным решением, конечно, является отрезок, соединяющий точки, если метрика, определенная на плоскости, является евклидовой метрикой.
Даны два города в стране со множеством холмов и долин. Найдите кратчайшую дорогу, ведущую из одного города в другой. Эта проблема является обобщением вышеизложенного, и решение не столь очевидно.
Даны два круга, которые будут служить верхом и дном для чашки заданной высоты. Найдите форму боковой стенки чашки так, чтобы боковая стенка имела минимальную площадь . Интуиция подсказывает, что чашка должна иметь коническую или цилиндрическую форму, что неверно. Фактическая минимальная поверхность — это катеноид .
Найдите форму моста, способного выдержать заданную интенсивность движения с использованием наименьшего количества материала.
Найдите форму самолета, которая отражает большую часть радиоволн от радара противника.

Задачи бесконечномерной оптимизации могут быть более сложными, чем конечномерные. Обычно для решения таких задач необходимо использовать методы уравнений в частных производных .

Несколько дисциплин, которые изучают проблемы бесконечномерной оптимизации, - это вариационное исчисление , оптимальное управление и оптимизация формы .

См. также

Полубесконечное программирование

Ссылки

Дэвид Люенбергер (1997). Оптимизация методами векторного пространства. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-18117-X .
Эдвард Дж. Андерсон и Питер Нэш, Линейное программирование в бесконечномерных пространствах , Wiley, 1987.
М. А. Гоберна и М. А. Лопес, Линейная полубесконечная оптимизация , Wiley, 1998.
Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с применением в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.