Теорема Милна-Томсона о круге

В гидродинамике теорема Милна -Томсона о круге или теорема о круге — это утверждение, дающее новую функцию тока для потока жидкости, когда в этот поток помещается цилиндр. Он был назван в честь английского математика Л. М. Милна-Томсона .

Позволять $f(z)$ — комплексный потенциал потока жидкости, где особенности все $f(z)$ роды $|z|>a$. Если круг $|z|=a$ помещается в этот поток, комплексный потенциал нового потока определяется выражением

$w=f(z)+{\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}=f(z)+{\overline {f}}\left({\frac {a^{2}}{z}}\right).$

с теми же особенностями, что и $f(z)$ в $|z|>a$ и $|z|=a$ является обтекаемой линией. По кругу $|z|=a$, $z{\bar {z}}=a^{2}$, поэтому

$w=f(z)+{\overline {f(z)}}.$

Пример

Рассмотрим равномерный безвихревой поток $f(z)=Uz$ со скоростью $U$ текущий в позитиве $x$ направлении и поместим бесконечно длинный цилиндр радиуса $a$ в потоке с центром цилиндра в начале координат. Затем $f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)={\frac {Ua^{2}}{\bar {z}}},\ \Rightarrow \ {\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}={\frac {Ua^{2}}{z}}$, следовательно, используя теорему об окружности,

$w(z)=U\left(z+{\frac {a^{2}}{z}}\right)$

представляет собой комплексный потенциал однородного потока в цилиндре.

См. также

• Потенциальный поток
• Конформное отображение
• Потенциал скорости
• Метод Милна-Томсона для нахождения голоморфной функции