Птица (математическое произведение)

Версия «Птицы в полете», состоящая из 500 сегментов линий.

Еще одна версия «Птицы в полете», состоящая из 20 001 круга.

Птица , также известная как «Птица в полете», относится к птичьим математическим произведениям искусства , которые представлены математическими уравнениями. Группа этих фигур создана путем прочесывания десятков тысяч изображений, созданных компьютером . Обычно они определяются тригонометрическими функциями . Пример « Птицы в полете» состоит из 500 сегментов, определенных в декартовой плоскости , где для каждого $k=1,2,3,\ldots ,500$ конечные точки $k$-й сегмент линии:

$\left({\frac {3}{2}}\sin ^{7}\left({\frac {2\pi k}{500}}+{\frac {\pi }{3}}\right),\,{\frac {1}{4}}\cos ^{2}\left({\frac {6\pi k}{500}}\right)\right)$

и

$\left({\frac {1}{5}}\sin \left({\frac {6\pi k}{500}}+{\frac {\pi }{5}}\right),\,{\frac {-2}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {2\pi k}{500}}-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)$.

Определенные выше 500 сегментов линий вместе образуют на декартовой плоскости фигуру, напоминающую птицу с раскрытыми крыльями. Взгляд на сегменты линий на крыльях птицы вызывает оптическую иллюзию и может заставить зрителя думать, что сегменты представляют собой изогнутые линии . Следовательно, форму также можно рассматривать как оптическое произведение искусства . Другая версия «Птицы в полете» определялась как объединение всех кругов с центром. $\left(A(k),B(k)\right)$ и радиус $R(k)$, где $k=-10000,-9999,\ldots ,9999,10000$, и

$A(k)={\frac {3k}{20000}}+\sin \left({\frac {\pi }{2}}\left({\frac {k}{10000}}\right)^{7}\right)\cos ^{6}\left({\frac {41\pi k}{10000}}\right)+{\frac {1}{4}}\cos ^{16}\left({\frac {41\pi k}{10000}}\right)\cos ^{12}\left({\frac {\pi k}{20000}}\right)\sin \left({\frac {6\pi k}{10000}}\right),$

${\begin{aligned}B(k)=&-\cos \left({\frac {\pi }{2}}\left({\frac {k}{10000}}\right)^{7}\right)\left(1+{\frac {3}{2}}\cos ^{6}\left({\frac {\pi k}{20000}}\right)\cos ^{6}\left({\frac {3\pi k}{20000}}\right)\right)\cos ^{6}\left({\frac {41\pi k}{10000}}\right)\\&+{\frac {1}{2}}\cos ^{10}\left({\frac {3\pi k}{100000}}\right)\cos ^{10}\left({\frac {9\pi k}{100000}}\right)\cos ^{10}\left({\frac {18\pi k}{100000}}\right),\\\end{aligned}}$

$R(k)={\frac {1}{50}}+{\frac {1}{10}}\sin ^{2}\left({\frac {41\pi k}{10000}}\right)\sin ^{2}\left({\frac {9\pi k}{100000}}\right)+{\frac {1}{20}}\cos ^{2}\left({\frac {41\pi k}{10000}}\right)\cos ^{10}\left({\frac {\pi k}{20000}}\right).$

Набор из 20 001 круга, определенного выше, образует подмножество плоскости, напоминающей летящую птицу. Хотя уравнения этой версии намного сложнее, чем в версии, состоящей из 500 сегментов, она больше похожа на настоящую летящую птицу.