Котангенсное тождество Эрмита

Не путать с тождеством Эрмита — утверждением о дробных частях целых чисел, кратных действительным числам.

В математике открытое котангенсное тождество Эрмита — это тригонометрическое тождество, Чарльзом Эрмитом . Предположим , _{, a1} ..., an _— комплексные числа , никакие два из которых не отличаются на целое число, кратное π . Позволять

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

(в частности, A _1,1 , будучи пустым произведением , равно 1). Затем

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

Простейшим нетривиальным примером является случай n = 2:

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).\,$