Бетатронные колебания

Бетатронные колебания — это быстрые поперечные колебания заряженной частицы в различных фокусирующих системах: линейных ускорителях , накопителях , каналах передачи. Колебания обычно рассматриваются как небольшие отклонения от идеальной опорной орбиты и определяются поперечными силами фокусирующих элементов, т.е. в зависимости от величины поперечного отклонения: квадрупольных магнитов , электростатических линз , радиочастотных полей. Это поперечное движение является предметом изучения электронной оптики . Бетатронные колебания впервые были изучены Д. В. Керстом и Р. Сербером в 1941 г. при вводе в эксплуатацию первого бетатрона. Фундаментальное исследование бетатронных колебаний было проведено Эрнестом Курантом , Милтоном С. Ливингстоном и Хартландом Снайдером , что привело к революции в конструкции ускорителей высоких энергий за счет применения принципа сильной фокусировки .

Уравнения Хилла

Движущаяся система координат

Для удержания частиц пучка внутри вакуумной камеры ускорителя или канала передачи используются магнитные или электростатические элементы. Направляющее поле дипольных магнитов задает опорную орбиту луча, а фокусирующие магниты с полем, линейно зависящим от поперечной координаты, возвращают частицы с небольшими отклонениями, заставляя их устойчиво колебаться вокруг опорной орбиты. Для любой орбиты можно локально задать спутную с опорной частицей систему координат Френе–Серре . Предполагая малые отклонения частицы во всех направлениях и после линеаризации всех полей придем к линейным уравнениям движения, представляющим собой пару уравнений Хилла :

${\begin{cases}x''+k_{x}(s)x=0\\y''+k_{y}(s)y=0\\\end{cases}}.$

Здесь $k_{x}(s)={\frac {1}{r_{0}^{2}}}+{\frac {G(s)}{B\rho }}$, $k_{y}(s)=-{\frac {G(s)}{B\rho }}$ являются периодическими функциями в случае циклического ускорителя, такого как бетатрон или синхротрон. $G(s)={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}$ представляет собой градиент магнитного поля. Штрих означает производную по s, путь вдоль траектории луча. Произведение ведущего поля на радиус кривизны $B\rho =B\cdot r_{0}$ , магнитная жесткость которая через силу Лоренца строго связана с импульсом $pc=eZB\rho$, где $eZ$ представляет собой заряд частицы.

Поскольку уравнения поперечного движения независимы друг от друга, их можно решать раздельно. Для одномерного движения решением уравнения Хилла является квазипериодическое колебание. Это можно записать как $x(s)=A{\sqrt {\beta _{x}(s)}}\cdot cos(\Psi _{x}(s)+\phi _{0})$, где $\beta (s)$ это бета-функция Twiss , $\Psi (s)$ представляет собой бетатронное опережение фазы и $A$ — инвариантная амплитуда, известная как инвариант Куранта-Снайдера .

Литература

• Эдвардс, Д.А.; Сайферс, MJ (1993). Введение в физику ускорителей высоких энергий . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0-471-55163--8 .
• Видеманн, Хельмут (2007). Физика ускорителей частиц (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 158–161. ISBN  978-3-540-49043-2 .