Тепловое моделирование для интегральных схем

Миниатюризация компонентов всегда была основной целью полупроводниковой промышленности, поскольку она снижает производственные затраты и позволяет компаниям создавать меньшие по размеру компьютеры и другие устройства. Однако миниатюризация привела к увеличению рассеиваемой мощности на единицу площади и сделала ее ключевым фактором, ограничивающим производительность интегральных схем . Повышение температуры становится актуальным для проводов относительно малого сечения, где оно может повлиять на нормальное поведение полупроводника. Кроме того, поскольку выделение тепла пропорционально частоте работы коммутационных цепей, быстрые компьютеры выделяют больше тепла, чем медленные, что нежелательно для производителей микросхем. В этой статье обобщаются физические концепции, описывающие выделение и проводимость тепла в интегральной схеме, а также представлены численные методы, моделирующие теплопередачу с макроскопической точки зрения.

Генерация и передача тепла

Закон Фурье

На макроскопическом уровне закон Фурье устанавливает связь между передаваемым теплом в единицу времени на единицу площади и градиентом температуры:

$q=-\kappa \nabla T$

Где $\kappa$ – теплопроводность, [Вт·м ⁻¹ К ⁻¹ ].

Джоулево нагревание

Электронные системы работают на основе сигналов тока и напряжения. Ток — это поток заряженных частиц через материал, и эти частицы (электроны или дырки) взаимодействуют с решеткой кристалла, теряя свою энергию, которая выделяется в виде тепла. Джоулево нагревание является основным механизмом выделения тепла в интегральных схемах. и в большинстве случаев является нежелательным эффектом. Для омического материала он имеет вид:

$Q=j^{2}\rho$

Где $j$ плотность тока в [А·м ⁻² ], $\rho$ – удельное электросопротивление в [ ${\Omega }$·м] и $Q$ — выделяемое тепло на единицу объема в [Вт·м ⁻³ ].

Уравнение теплопередачи

Основное уравнение физики задачи теплопередачи связывает поток тепла в пространстве, его изменение во времени и выработку энергии следующим выражением:

$\nabla \left(\kappa \left(T\right)\nabla T\right)+g=\rho C{\frac {\partial T}{\partial t}}$

Где $\kappa$ - теплопроводность, $\rho$ - плотность среды, $C$ это удельная теплоемкость, $\alpha ={\frac {\kappa }{\rho C}}$, температуропроводность и $g$ – скорость выделения тепла в единице объема. Тепло распространяется от источника в соответствии с приведенным выше уравнением, а решение в однородной среде соответствует распределению Гаусса.

решения

Преобразование Кирхгофа

Чтобы избавиться от температурной зависимости $\kappa$, можно выполнить преобразование Кирхгофа

$\theta =T_{s}+{\frac {1}{\kappa _{s}}}\int _{T_{s}}^{T}\kappa (T)dT$

где $\kappa _{s}=\kappa \left(T_{s}\right)$ и $T_{s}$ это температура радиатора. При применении этого преобразования уравнение теплопроводности принимает вид:

$\alpha \nabla ^{2}\theta +{\frac {\alpha }{\kappa _{s}}}g={\frac {\partial \theta }{\partial t}}$

где $\alpha ={\frac {\kappa }{\rho C}}$ называется диффузией, что также зависит от температуры. Чтобы полностью линеаризовать уравнение, используется второе преобразование:

$\alpha _{s}\tau =\int _{0}^{t}\alpha (\theta )dt$

давая выражение:

$\nabla ^{2}\theta -{\frac {1}{\alpha _{s}}}{\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=-{\frac {g}{\kappa _{s}}}$

Простое и прямое применение этого уравнения требует приближения. Дополнительные члены, возникающие в преобразованном лапласиане, отбрасываются, оставляя лапласиан в его обычной форме.

Аналитические решения

Хотя аналитические решения можно найти только для конкретных и простых случаев, они дают хорошее представление о том, как справиться с более сложными ситуациями. Аналитические решения для обычных подсистем также можно комбинировать для получения подробного описания сложных структур. В работе профессора Бэтти для нахождения решения линеаризованного уравнения теплопроводности вводится разложение в ряд Фурье по температуре в области Лапласа.

Пример

Эту процедуру можно применить к простому, но нетривиальному случаю: однородному кубическому кристаллу из GaAs, L=300 мкм. Цель состоит в том, чтобы найти распределение температуры на верхней поверхности. Верхняя поверхность дискретизируется на более мелкие квадраты с индексом i=1...N. Один из них считается источником.

Принимая преобразование Лапласа к уравнению теплопроводности:

$\nabla ^{2}{\bar {\Theta }}-{\frac {s}{k_{s}}}{\bar {\Theta }}=0$

где ${\overline {\Theta }}=s\theta -\theta \left(\tau =0\right)$

Функция ${\overline {\Theta }}$ разлагается через косинусные функции для $x$ и $y$ переменных и через гиперболические косинусы и синусы для $z$ переменная. Далее, применяя адиабатические граничные условия на боковых стенках и фиксируя температуру внизу (температуру радиатора), выводится матричное уравнение теплового импеданса:

$\Delta \theta _{i}=\sum _{j=1}^{N}R_{TH_{ij}}(t)P_{j}(t)$

Где индекс $j$ учитываются источники питания, а индекс $i$ относится к каждой небольшой области.

Более подробную информацию о выводе можно найти в статье профессора Бэтти. На рисунке ниже показано распределение температуры в установившемся режиме этого аналитического метода для кубической матрицы размером 300 мкм. Источник постоянной мощности мощностью 0,3 Вт подается на центральную поверхность размером 0,1 x 0,1 л. Как и ожидалось, распределение затухает по мере приближения к границам, его максимум расположен в центре и почти достигает 400К.

Численные решения

Численные решения используют сетку структуры для моделирования. Наиболее популярными методами являются: метод конечных разностей во временной области (FDTD) , метод конечных элементов (FEM) и метод моментов (MoM).

Метод конечных разностей во временной области (FDTD) — это надежный и популярный метод, который заключается в численном решении дифференциальных уравнений, а также определенных граничных условий, определяемых задачей. Это делается путем дискретизации пространства и времени и использования формул конечных разностей, таким образом, уравнения в частных производных, описывающие физику проблемы, могут быть решены численно с помощью компьютерных программ.

FEM также представляет собой численную схему, используемую для решения инженерных и математических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, а также граничными условиями. Он дискретизирует пространство на более мелкие элементы, для которых базисные функции назначаются их узлам или ребрам. Базисные функции представляют собой линейные полиномы или полиномы более высокого порядка. Применяя дифференциальное уравнение и граничные условия задачи к базисным функциям, формулируют систему уравнений с использованием метода Ритца или Галеркина . Наконец, для решения системы линейных уравнений применяется прямой или итерационный метод. Для теплового случая метод МКЭ более подходит из-за нелинейного характера тепловых свойств.

Пример

Предыдущий пример можно решить численным методом. В этом случае куб можно разбить на прямоугольные элементы. Его базисные функции можно выбрать в качестве приближения первого порядка (линейного):

$N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\xi \left(1\mp \zeta \right),\qquad i=1,4$

$N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\eta \left(1\mp \zeta \right),\qquad i=2,5$

$N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\left(1-\xi -\eta \right)\left(1\mp \zeta \right),\qquad i=3,6$

где $\zeta =2(z-z_{c})/h_{z}$. Если $z_{c}=0$, затем $\zeta =2z/h_{z}$.

Используя эти базисные функции и применив метод Галёркина к уравнению теплопередачи, получаем матричное уравнение:

$\left[S\right]\left\{\theta \right\}+\left[R\right]{\frac {d}{dt}}\left\{\theta \right\}=\left\{B\right\}$

где,

$R_{ij}=\int _{v}N_{j}N_{i}dV$

$S_{ij}=k\int _{v}\nabla N_{j}.\nabla N_{i}dV$

$B_{i}={\frac {k}{\kappa _{s}}}\int _{\Omega _{1}}N_{i}p(x,y)d\Omega +{\frac {k}{\kappa _{s}}}\int _{v}N_{i}gdV-kT_{o}\sum _{j=0}^{N_{D}}\int _{v}\nabla N_{j}^{D}.\nabla N_{i}dV$.

Эти выражения можно оценить с помощью простого кода FEM. Более подробную информацию см. На рисунке ниже показано распределение температуры для случая численного решения. Это решение показывает очень хорошее согласие с аналитическим случаем, его пик также достигает 390 К в центре. Очевидная негладкость распределения возникает из-за аппроксимации базисных функций первого порядка, и эту проблему можно решить, используя базисные функции более высокого порядка. Кроме того, лучшие результаты можно получить, используя более плотную сетку структуры; однако для очень плотных сеток время вычислений значительно увеличивается, что делает моделирование непрактичным.

На следующем рисунке показано сравнение пиковой температуры в зависимости от времени для обоих методов. Система достигает устойчивого состояния примерно через $1ms$.

Уменьшение порядка модели

Численные методы, такие как FEM или FDM, выводят матричное уравнение, как показано в предыдущем разделе. Чтобы быстрее решить это уравнение, можно использовать метод, называемый понижением порядка модели, для нахождения приближения более низкого порядка. Этот метод основан на том факте, что многомерный вектор состояния принадлежит низкомерному подпространству [1] .

На рисунке ниже показана концепция приближения MOR: найдя матрицу V, размерность системы можно уменьшить для решения упрощенной системы.

Следовательно, исходная система уравнений:

$C\left\{x\right\}'+K\left\{x\right\}=F\left\{u\right\}$

становится:

$V^{T}CV\left\{z\right\}'+V^{T}KV\left\{z\right\}=V^{T}F\left\{u\right\}$

Порядок которого намного ниже исходного, что делает вычисления намного менее затратными. Как только решение получено, исходный вектор находится путем произведения произведения на V.

Заключение

Выделение тепла в основном происходит за счет джоулевого нагрева; этот нежелательный эффект ограничивает производительность интегральных схем. В заданной статье была описана теплопроводность и представлены аналитические и численные методы решения задачи теплопередачи. Используя эти методы, было рассчитано распределение температуры в установившемся состоянии, а также пиковая температура в зависимости от времени для кубической матрицы. Для входной мощности $0.3W$ (или $3.333e8W/m_{2}$), нанесенного на один поверхностный источник на вершине кубической матрицы, было вычислено максимальное приращение температуры порядка 100 К. Такое повышение температуры может повлиять на поведение окружающих полупроводниковых приборов. Важные параметры, такие как мобильность, кардинально меняются. Вот почему рассеивание тепла является актуальной проблемой и должно учитываться при проектировании схем.

См. также

• Выделение тепла в интегральных схемах