Уменьшение порядка модели

Понижение порядка модели (MOR) — это метод снижения вычислительной сложности математических моделей при численном моделировании . Как таковое оно тесно связано с концепцией метамоделирования и имеет приложения во всех областях математического моделирования .

Обзор

Многие современные математические модели реальных процессов создают проблемы при использовании в численном моделировании из-за сложности и большого размера (размерности). Снижение порядка модели направлено на снижение вычислительной сложности таких задач, например, при моделировании крупномасштабных динамических систем и систем управления . Путем уменьшения связанной с моделью размерности пространства состояний или степеней свободы вычисляется приближение к исходной модели, которое обычно называют моделью пониженного порядка.

Модели пониженного порядка полезны в ситуациях, когда часто невозможно выполнить численное моделирование с использованием полной модели полного порядка. Это может быть связано с ограничениями вычислительных ресурсов или требованиями настроек моделирования, например, настроек моделирования в реальном времени или настроек множества запросов, в которых необходимо выполнить большое количество симуляций. ^[1]^[2] Примеры настроек моделирования в реальном времени включают системы управления в электронике и визуализацию результатов модели, а примеры настроек с множеством запросов могут включать оптимизации задачи и исследование конструкции. Чтобы быть применимой к реальным проблемам, к модели пониженного порядка часто предъявляются следующие требования: ^[3]^[4]

Небольшая ошибка аппроксимации по сравнению с моделью полного порядка.
Сохранение свойств и характеристик модели полного порядка (например, стабильность и пассивность в электронике).
Вычислительно эффективные и надежные методы моделирования пониженного порядка.

Интересно отметить, что в некоторых случаях (например, при ограниченном объединении полиномиальных дифференциальных уравнений) возможна нулевая ошибка аппроксимации, что приводит к точному понижению порядка модели. ^[5]

Методы

Современные методы снижения порядка моделей можно разделить на 5 классов: ^[1]^[6]

Собственные ортогональные методы разложения. ^[7]^[8]
Методы редуцированного базиса. ^[9]
Методы балансировки
Упрощенная физика ^[10] или оперативные методы сокращения. ^[3]
Нелинейные многообразные методы. ^[11]^[12]

Подход упрощенной физики можно описать как аналог традиционного подхода математического моделирования , в котором менее сложное описание системы строится на основе предположений и упрощений с использованием физического понимания или информации, полученной иным образом. Однако этот подход не часто является темой обсуждения в контексте снижения порядка модели, поскольку это общий метод в науке, технике и математике.

Остальные перечисленные методы относятся к категории прогнозной редукции. Сокращение на основе проекций основано на проецировании уравнений модели или решения на основу уменьшенной размерности по сравнению с исходным пространством решений. Методы, которые также попадают в этот класс, но, возможно, менее распространены:

Правильное обобщенное разложение ^[13]
Матричная интерполяция ^[14]
Интерполяция передаточной функции
Кусочная тангенциальная интерполяция
Структура Лёвнера
(Эмпирический) крест Грамиана
Krylov subspace methods ^[15]

Реализации

RBmatlab: библиотека MATLAB, содержащая все сокращенные подходы к моделированию для линейных и нелинейных, аффинных или произвольно зависящих от параметров задач эволюции с конечными элементами, конечным объемом или локальными разрывными дискретизациями Галеркина. Дополнительную информацию можно найти на странице загрузки и документации .

Снижение порядка модели внутри ANSYS: реализует понижение порядка модели на основе Крылова для мультифизических моделей конечных элементов в ANSYS. Упрощение модели с помощью Model Reduction внутри Asys подходит для стратегий оптимизации при разработке компонентов, а также для интеграции компактных моделей в общее системное моделирование в области электроники, автомобилестроения или микросистем. Несмотря на сокращение, параметры исследования сохраняются, что означает возможность быстрого получения результатов при проектировании и моделировании систем. Для получения дополнительной информации посетите https://www.cadfem.net/en/our-solutions/cadfem-ansys-extensions/model-reduction-inside-ansys.html .

pyMOR: pyMOR — это программная библиотека для создания приложений уменьшения порядка моделей с помощью языка программирования Python. Основное внимание уделяется применению методов редуцированного базиса к параметризованным уравнениям в частных производных. Все алгоритмы в pyMOR сформулированы в виде абстрактных интерфейсов для плавной интеграции с внешними многомерными решателями PDE. Кроме того, для быстрого начала работы предусмотрены реализации дискретизации методом конечных элементов и конечных объемов на чистом Python с использованием стека научных вычислений NumPy/SciPy. Для получения дополнительной информации посетите http://pymor.org.
emgr: Эмпирическая основа Gramian. Эмпирические граммианы могут быть рассчитаны для линейных и нелинейных систем управления в целях снижения порядка модели, количественной оценки неопределенности или идентификации системы. Платформа emgr представляет собой компактный набор инструментов с открытым исходным кодом для сокращения моделей на основе грамма, совместимый с OCTAVE и MATLAB. Подробнее: http://gramian.de
KerMor: объектно-ориентированная библиотека MATLAB©, предоставляющая процедуры для понижения порядка моделей нелинейных динамических систем. Сокращение может быть достигнуто с помощью проецирования подпространства и аппроксимации нелинейностей с помощью методов ядра или DEIM. Легко реализуются стандартные процедуры, такие как метод POD-Greedy, а также расширенные апостериорные оценки ошибок для различных конфигураций системы. KerMor также включает в себя несколько рабочих примеров и несколько демонстрационных файлов для быстрого ознакомления с предоставляемым функционалом. Дополнительную информацию можно найти по адресу http://www.morepas.org/software/kermor/.
JaRMoS: JaRMoS означает «Моделирование сокращенной модели Java» и призван обеспечить импорт и моделирование различных сокращенных моделей из нескольких источников на любой платформе, поддерживающей Java. На данный момент присутствует поддержка сокращенных моделей RBmatlab, KerMor и rbMIT, причем мы можем импортировать только те модели rbMIT, которые ранее были опубликованы с помощью Android-приложения rbAppMIT. Расширения на данный момент представляют собой настольную версию для запуска сокращенных моделей, а начальная поддержка сокращенных моделей на основе ядра KerMor уже в пути. Более подробную информацию можно найти по адресу http://www.morepas.org/software/jarmos/.
MORLAB: Модельная лаборатория сокращения заказов. Этот набор инструментов представляет собой набор подпрограмм MATLAB/OCTAVE для понижения порядка моделей линейных динамических систем на основе решения матричных уравнений. Реализация основана на методах спектральной проекции, например, методах, основанных на матричной знаковой функции и матричной дисковой функции. Более подробную информацию об этом программном обеспечении можно найти по адресу: https://www.mpi-magdeburg.mpg.de/projects/morlab.
Dune-RB: модуль для библиотеки Dune ( www.dune-project.org , http://dune.mathematik.uni-freiburg.de ), который реализует классы шаблонов C++ для использования при создании снимков и автономных фазах RB для различных дискретизация. Помимо одноядерных алгоритмов, пакет также нацелен на использование методов распараллеливания для эффективного создания снимков. Подробнее: http://users.dune-project.org/projects/dune-rb/wiki.
libROM: Коллекция классов C++, которые вычисляют понижение порядка моделей и гиперредукцию для систем уравнений в частных и обыкновенных дифференциальных уравнениях. libROM включает масштабируемые и параллельные адаптивные методы для правильного ортогонального разложения, параллельные неадаптивные методы гиперредукции и рандомизированное разложение по сингулярным значениям. libROM также включает возможность динамической декомпозиции. libROM имеет возможность жадной выборки с учетом физики. Исходные коды можно найти по адресу: https://github.com/LLNL/libROM . Веб-страницу можно найти по адресу: https://www.librom.net , где можно найти множество примеров, например, модели пониженного порядка для лагранжевой гидродинамики с ударной волной. ^[16]
Pressio: Pressio — это проект с открытым исходным кодом, направленный на смягчение навязчивого характера моделей уменьшенного порядка на основе проекций для крупномасштабных кодов. Ядром проекта является библиотека C++, предназначенная только для заголовков, которая использует универсальное программирование для взаимодействия с приложениями с общей или распределенной памятью, использующими произвольные типы данных. Pressio предоставляет многочисленные функциональные возможности и решатели для выполнения сокращения моделей, такие как проекции Галеркина и наименьшие квадраты Петрова – Галеркина. Экосистема Pressio также предлагает: (1) pressio4py , библиотеку привязки Python для упрощения прототипирования, (2) pressio-tutorials , библиотеку, также предлагающую комплексные демо-версии, с которыми можно легко поиграть, которые можно найти по адресу https. ://pressio.github.io/pressio-tutorials/ , (3) pressio-tools , библиотека для крупномасштабных SVD, QR и сеток образцов, и (4) pressio-demoapps, набор 1d, 2d и 3d демо-приложения для тестирования ПЗУ и гиперредукции. Основной веб-сайт экосистемы можно найти по адресу https://pressio.github.io/ , документацию библиотеки C++ — по адресу https://pressio.github.io/pressio/ .

Приложения

Снижение порядка моделей находит применение во всех областях, связанных с математическим моделированием и множеством обзоров. ^[10]^[13] существуют по темам электроники , ^[17] механика жидкости , ^[18] гидродинамика , ^[16] строительная механика , ^[7] МЭМС , ^[19] уравнение Больцмана , ^[8] и оптимизация дизайна . ^[14]^[20]

Гидравлическая механика

Текущие проблемы механики жидкости связаны с большими динамическими системами, представляющими множество эффектов в самых разных масштабах. В исследованиях вычислительной гидродинамики часто используются модели, решающие уравнения Навье – Стокса с числом степеней свободы порядка величины выше $10^{6}$ . Первое использование методов уменьшения порядка моделей относится к работе Ламли в 1967 году. ^[21] где он использовался для понимания механизмов и интенсивности турбулентности и крупных когерентных структур, присутствующих в задачах о потоке жидкости. Понижение порядка модели также находит современное применение в аэронавтике для моделирования обтекания корпуса самолета. ^[22] Пример можно найти в Lieu et al. ^[23] в котором полная модель истребителя F16 с более чем 2,1 миллионами степеней свободы была уменьшена до модели всего с 90 степенями свободы. Дополнительно моделирование пониженного порядка применялось для изучения реологии в гемодинамике и взаимодействия жидкости со структурой между кровью, текущей через сосудистую систему, и стенками сосудов. ^[24]^[25]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Лассила, Тони; Манцони, Андреа; Квартерони, Альфио ; Розза, Джанлуиджи (2014). «Уменьшение порядка модели в гидродинамике: проблемы и перспективы». Методы пониженного порядка для моделирования и сокращения вычислений (PDF) . стр. 235–273. дои : 10.1007/978-3-319-02090-7_9 . ISBN 978-3-319-02089-1 .
^ Розза, Г. ; Хьюнь, ДАД; Патера, Арканзас (21 мая 2008 г.). «Приближение с уменьшенным базисом и апостериорная оценка ошибки для аффинно параметризованных эллиптических коэрцитивных уравнений в частных производных» . Архив вычислительных методов в технике . 15 (3): 229–275. дои : 10.1007/s11831-008-9019-9 . ISSN 1134-3060 . S2CID 13511413 .
^ Jump up to: ^а ^б Художники, Вильгельм; ван дер Ворст, Хенк; Роммес, Йост (2008). Снижение порядка моделей: теория, исследовательские аспекты и приложения . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-78841-6 .
^ Антулас, AC (июль 2004 г.). «Аппроксимация крупномасштабных динамических систем: обзор». Тома трудов МФБ . 37 (11): 19–28. CiteSeerX 10.1.1.29.3565 . дои : 10.1016/S1474-6670(17)31584-7 .
^ Овчинников, Алексей; Перес Верона, Изабель; Погудин, Глеб; Трибастоне, Мирко (19 июля 2021 г.). Валенсия, Альфонсо (ред.). «ПОДСКАЗКА: точное максимальное сокращение кинетических моделей путем ограниченного объединения дифференциальных уравнений» . Биоинформатика . 37 (12): 1732–1738. arXiv : 2004.11961 . doi : 10.1093/биоинформатика/btab010 . ISSN 1367-4803 . ПМИД 33532849 .
^ Силва, Жоау М.С.; Вильена, Хорхе Фернандес; Флорес, Пауло; Сильвейра, Л. Мигель (2007), «Выдающиеся проблемы уменьшения порядка моделей», Научные вычисления в электротехнике , Springer Berlin Heidelberg, стр. 139–152, doi : 10.1007/978-3-540-71980-9_13 , ISBN 978-3-540-71979-3
^ Jump up to: ^а ^б Кершен, Гаэтан; Голенваль, Жан-Клод; ВАКАКИС, АЛЕКСАНДР Ф.; БЕРГМАН, ЛОУРЕНС А. (2005). «Метод правильного ортогонального разложения для динамической характеристики и снижения порядка механических систем: обзор». Нелинейная динамика . 41 (1–3): 147–169. CiteSeerX 10.1.1.530.8349 . дои : 10.1007/s11071-005-2803-2 . ISSN 0924-090X . S2CID 17625377 .
^ Jump up to: ^а ^б Чхве, Ёнсу; Браун, Питер; Арриги, Уильям; Андерсон, Роберт; Хюинь, Кевин (2021). «Модель уменьшенного порядка пространства и времени для крупномасштабных линейных динамических систем с применением к задачам переноса Больцмана» . Журнал вычислительной физики . 424 : 109845. arXiv : 1910.01260 . Бибкод : 2021JCoPh.42409845C . дои : 10.1016/j.jcp.2020.109845 . ISSN 0021-9991 . S2CID 203641768 .
^ Бояваль, С.; Ле Брис, К.; Лельевр, Т.; Мэдей, Ю.; Нгуен, Северная Каролина; Патера, Арканзас (16 октября 2010 г.). «Методы редуцированного базиса для решения стохастических задач». Архив вычислительных методов в технике . 17 (4): 435–454. arXiv : 1004.0357 . дои : 10.1007/s11831-010-9056-z . hdl : 1721.1/63915 . S2CID 446613 .
^ Jump up to: ^а ^б Беннер, Питер; Гугерчин, Серкан; Уиллкокс, Карен (2015). «Обзор методов сокращения проекционных моделей для параметрических динамических систем» (PDF) . Обзор СИАМ . 57 (4): 483–531. дои : 10.1137/130932715 . hdl : 1721.1/100939 . ISSN 0036-1445 . S2CID 16186635 .
^ Ким, Ёнкю; Чхве, Ёнсу; Видеманн, Дэвид; Зохди, Тарек (2021). «Быстрая и точная модель пониженного порядка нейронной сети с учетом физики и автокодировщиком с мелкой маской» . Журнал вычислительной физики . 451 : 110841. arXiv : 2009.11990 . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110841 . S2CID 221949087 .
^ Моджгани, Рамбод; Балаевич, Мацей (2021). «Многообразия на основе регистрации низкого ранга для PDE с доминированием конвекции» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 35 : 399-407. arXiv : 2006.15655 . дои : 10.1609/aaai.v35i1.16116 . S2CID 220249659 .
^ Jump up to: ^а ^б Чинеста, Франциско; Ладевез, Пьер; Куэто, Элиас (11 октября 2011 г.). «Краткий обзор снижения порядка модели на основе правильной обобщенной декомпозиции» (PDF) . Архив вычислительных методов в технике . 18 (4): 395–404. дои : 10.1007/s11831-011-9064-7 . S2CID 54512292 .
^ Jump up to: ^а ^б Чхве, Ёнсу; Бонкоральо, Габриэле; Спенсер, Андерсон; Амсаллем, Дэвид; Фархат, Шарбель (2020). «Оптимизация на основе градиента с ограничениями с использованием базы данных линейных моделей пониженного порядка» . Журнал вычислительной физики . 423 : 109787. arXiv : 1506.07849 . Бибкод : 2020JCoPh.42309787C . дои : 10.1016/j.jcp.2020.109787 . S2CID 60788542 .
^ Бай, Чжаоцзюнь (2002). «Крыловские подпространственные методы моделирования крупномасштабных динамических систем пониженного порядка». Прикладная численная математика . 43 (1–2): 9–44. CiteSeerX 10.1.1.131.8251 . дои : 10.1016/S0168-9274(02)00116-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Коупленд, Дилан; Чунг, Сиу Вун; Хьюнь, Кевин; Чхве, Ёнсу (2021). «Модели пониженного порядка для лагранжевой гидродинамики» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 388 : 114259. arXiv : 2104.11404 . дои : 10.1016/j.cma.2021.114259 . ISSN 0045-7825 . S2CID 233388014 .
^ Умуннакве, Чисом Бернхард; Завра, Ибрагим; Нисснер, Мартин; Рудный, Евгений; Холфельд, Деннис; Бехтольд, Тамара (2023). «Компактное моделирование термомеханической конечно-элементной модели микроэлектронного корпуса». Надежность микроэлектроники . 151 (115238). дои : 10.1016/j.microrel.2023.115238 .
^ Холмс, Филип; Ламли, Джон Л.; Беркуз, Гал (1996). Турбулентность, когерентные структуры, динамические системы и симметрия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511622700 . ISBN 978-0-511-62270-0 .
^ Бехтольд, Тамара; Шраг, Габриэла; Фэн, Лихун (2013). Системное моделирование МЭМС . Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. ISBN 978-3-527-31903-9 .
^ Макбейн, Шон; Чхве, Ёнсу (1 августа 2021 г.). «Проектирование решетчатой структуры модели уменьшенного порядка по компонентам» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 381 (113813): 113813. arXiv : 2010.10770 . Бибкод : 2021CMAME.381k3813M . дои : 10.1016/j.cma.2021.113813 . S2CID 224818337 .
^ Ламли, Дж. Л. (1967). Структура неоднородной турбулентности. В кн.: Яглом А.М., Татарский В.И. (Ред.) Атмосферная турбулентность и распространение волн . М.: Наука.
^ Уолтон, С.; Хасан, О.; Морган, К. (2013). «Моделирование пониженного порядка нестационарного потока жидкости с использованием правильного ортогонального разложения и радиальных базисных функций» . Прикладное математическое моделирование . 37 (20–21): 8930–8945. дои : 10.1016/j.apm.2013.04.025 . ISSN 0307-904X .
^ Лью, Т.; Фархат, К.; Лесуан, М. (2006). «Моделирование жидкости/структуры пониженного порядка полной конфигурации самолета». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 195 (41–43): 5730–5742. Бибкод : 2006CMAME.195.5730L . дои : 10.1016/j.cma.2005.08.026 . ISSN 0045-7825 .
^ Сяо, Д.; Ян, П.; Фанг, Ф.; Сян, Дж.; Боль, CC; Навон, ИМ (2016). «Неинтрузивное моделирование взаимодействия жидкости со структурой пониженного порядка» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 303 : 35–54. Бибкод : 2016CMAME.303...35X . дои : 10.1016/j.cma.2015.12.029 . ISSN 0045-7825 .
^ Кольсиаго, CM; Депарис, С.; Квартерони, А. (2014). «Сравнение моделей пониженного порядка и полных 3D-моделей для задач взаимодействия жидкости и структуры в гемодинамике» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 265 : 120–138. дои : 10.1016/j.cam.2013.09.049 . ISSN 0377-0427 .

Дальнейшее чтение

Антулас, Афанасиос К. (2005). Аппроксимация крупномасштабных динамических систем . СИАМ. дои : 10.1137/1.9780898718713 . ISBN 978-0-89871-529-3 . S2CID 117896525 .

Беннер, Питер; Фассбендер, Хайке (2014), «Снижение порядка модели: методы и инструменты» (PDF) , Энциклопедия систем и управления , Springer, doi : 10.1007/978-1-4471-5102-9_142-1 , ISBN 978-1-4471-5102-9 , S2CID 11873649

Антулас, AC; Соренсен, округ Колумбия; Гугерчин, С. (2001), «Обзор методов редукции моделей для крупномасштабных систем» (PDF) , Структурированные матрицы в математике, информатике и технике, I (Боулдер, Колорадо, 1999) , Современная математика, том. 280, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 193–219, CiteSeerX 10.1.1.210.9685 , doi : 10.1090/conm/280/04630 , ISBN 978-0-8218-1921-0 , МР 1850408

Беннер, Питер; Гугерчин, Серкан; Уиллкокс, Карен (2013), Обзор методов сокращения моделей для параметрических систем (PDF)

Баур, Ульрика; Беннер, Питер; Фэн, Лихонг (2014), «Снижение порядка моделей для линейных и нелинейных систем: теоретико-системный взгляд» (PDF) , Archives of Computational Methods in Engineering , 21 (4): 331–358, doi : 10.1007/s11831-014 -9111-2 , S2CID 39068644

Беннер, Питер; Коэн, Альберт; Ольбергер, Марио; Уиллкокс, Карен (2017). Редукция и аппроксимация модели: теория и алгоритмы . Публикации СИАМ. дои : 10.1137/1.9781611974829 . ISBN 978-1-611974-81-2 .

Антулас, Афанасиос К.; Битти, Кристофер А.; Гугерчин, Серкан. Интерполяционные методы редукции моделей . СИАМ. дои : 10.1137/1.9781611976083 .

Внешние ссылки

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Лассила, Тони; Манцони, Андреа; Квартерони, Альфио ; Розза, Джанлуиджи (2014). «Уменьшение порядка модели в гидродинамике: проблемы и перспективы». Методы пониженного порядка для моделирования и сокращения вычислений (PDF) . стр. 235–273. дои : 10.1007/978-3-319-02090-7_9 . ISBN 978-3-319-02089-1 .

[2] Розза, Г. ; Хьюнь, ДАД; Патера, Арканзас (21 мая 2008 г.). «Приближение с уменьшенным базисом и апостериорная оценка ошибки для аффинно параметризованных эллиптических коэрцитивных уравнений в частных производных» . Архив вычислительных методов в технике . 15 (3): 229–275. дои : 10.1007/s11831-008-9019-9 . ISSN 1134-3060 . S2CID 13511413 .

[Schilders-3] Jump up to: ^а ^б Художники, Вильгельм; ван дер Ворст, Хенк; Роммес, Йост (2008). Снижение порядка моделей: теория, исследовательские аспекты и приложения . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-78841-6 .

[4] Антулас, AC (июль 2004 г.). «Аппроксимация крупномасштабных динамических систем: обзор». Тома трудов МФБ . 37 (11): 19–28. CiteSeerX 10.1.1.29.3565 . дои : 10.1016/S1474-6670(17)31584-7 .

[5] Овчинников, Алексей; Перес Верона, Изабель; Погудин, Глеб; Трибастоне, Мирко (19 июля 2021 г.). Валенсия, Альфонсо (ред.). «ПОДСКАЗКА: точное максимальное сокращение кинетических моделей путем ограниченного объединения дифференциальных уравнений» . Биоинформатика . 37 (12): 1732–1738. arXiv : 2004.11961 . doi : 10.1093/биоинформатика/btab010 . ISSN 1367-4803 . ПМИД 33532849 .

[6] Силва, Жоау М.С.; Вильена, Хорхе Фернандес; Флорес, Пауло; Сильвейра, Л. Мигель (2007), «Выдающиеся проблемы уменьшения порядка моделей», Научные вычисления в электротехнике , Springer Berlin Heidelberg, стр. 139–152, doi : 10.1007/978-3-540-71980-9_13 , ISBN 978-3-540-71979-3

[:1-7] Jump up to: ^а ^б Кершен, Гаэтан; Голенваль, Жан-Клод; ВАКАКИС, АЛЕКСАНДР Ф.; БЕРГМАН, ЛОУРЕНС А. (2005). «Метод правильного ортогонального разложения для динамической характеристики и снижения порядка механических систем: обзор». Нелинейная динамика . 41 (1–3): 147–169. CiteSeerX 10.1.1.530.8349 . дои : 10.1007/s11071-005-2803-2 . ISSN 0924-090X . S2CID 17625377 .

[boltzmann-8] Jump up to: ^а ^б Чхве, Ёнсу; Браун, Питер; Арриги, Уильям; Андерсон, Роберт; Хюинь, Кевин (2021). «Модель уменьшенного порядка пространства и времени для крупномасштабных линейных динамических систем с применением к задачам переноса Больцмана» . Журнал вычислительной физики . 424 : 109845. arXiv : 1910.01260 . Бибкод : 2021JCoPh.42409845C . дои : 10.1016/j.jcp.2020.109845 . ISSN 0021-9991 . S2CID 203641768 .

[9] Бояваль, С.; Ле Брис, К.; Лельевр, Т.; Мэдей, Ю.; Нгуен, Северная Каролина; Патера, Арканзас (16 октября 2010 г.). «Методы редуцированного базиса для решения стохастических задач». Архив вычислительных методов в технике . 17 (4): 435–454. arXiv : 1004.0357 . дои : 10.1007/s11831-010-9056-z . hdl : 1721.1/63915 . S2CID 446613 .

[:2-10] Jump up to: ^а ^б Беннер, Питер; Гугерчин, Серкан; Уиллкокс, Карен (2015). «Обзор методов сокращения проекционных моделей для параметрических динамических систем» (PDF) . Обзор СИАМ . 57 (4): 483–531. дои : 10.1137/130932715 . hdl : 1721.1/100939 . ISSN 0036-1445 . S2CID 16186635 .

[11] Ким, Ёнкю; Чхве, Ёнсу; Видеманн, Дэвид; Зохди, Тарек (2021). «Быстрая и точная модель пониженного порядка нейронной сети с учетом физики и автокодировщиком с мелкой маской» . Журнал вычислительной физики . 451 : 110841. arXiv : 2009.11990 . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110841 . S2CID 221949087 .

[12] Моджгани, Рамбод; Балаевич, Мацей (2021). «Многообразия на основе регистрации низкого ранга для PDE с доминированием конвекции» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 35 : 399-407. arXiv : 2006.15655 . дои : 10.1609/aaai.v35i1.16116 . S2CID 220249659 .

[PGD-13] Jump up to: ^а ^б Чинеста, Франциско; Ладевез, Пьер; Куэто, Элиас (11 октября 2011 г.). «Краткий обзор снижения порядка модели на основе правильной обобщенной декомпозиции» (PDF) . Архив вычислительных методов в технике . 18 (4): 395–404. дои : 10.1007/s11831-011-9064-7 . S2CID 54512292 .

[gradient-14] Jump up to: ^а ^б Чхве, Ёнсу; Бонкоральо, Габриэле; Спенсер, Андерсон; Амсаллем, Дэвид; Фархат, Шарбель (2020). «Оптимизация на основе градиента с ограничениями с использованием базы данных линейных моделей пониженного порядка» . Журнал вычислительной физики . 423 : 109787. arXiv : 1506.07849 . Бибкод : 2020JCoPh.42309787C . дои : 10.1016/j.jcp.2020.109787 . S2CID 60788542 .

[Bai2002-15] Бай, Чжаоцзюнь (2002). «Крыловские подпространственные методы моделирования крупномасштабных динамических систем пониженного порядка». Прикладная численная математика . 43 (1–2): 9–44. CiteSeerX 10.1.1.131.8251 . дои : 10.1016/S0168-9274(02)00116-2 .

[hydrodynamics-16] Jump up to: ^а ^б Коупленд, Дилан; Чунг, Сиу Вун; Хьюнь, Кевин; Чхве, Ёнсу (2021). «Модели пониженного порядка для лагранжевой гидродинамики» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 388 : 114259. arXiv : 2104.11404 . дои : 10.1016/j.cma.2021.114259 . ISSN 0045-7825 . S2CID 233388014 .

[17] Умуннакве, Чисом Бернхард; Завра, Ибрагим; Нисснер, Мартин; Рудный, Евгений; Холфельд, Деннис; Бехтольд, Тамара (2023). «Компактное моделирование термомеханической конечно-элементной модели микроэлектронного корпуса». Надежность микроэлектроники . 151 (115238). дои : 10.1016/j.microrel.2023.115238 .

[18] Холмс, Филип; Ламли, Джон Л.; Беркуз, Гал (1996). Турбулентность, когерентные структуры, динамические системы и симметрия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511622700 . ISBN 978-0-511-62270-0 .

[19] Бехтольд, Тамара; Шраг, Габриэла; Фэн, Лихун (2013). Системное моделирование МЭМС . Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. ISBN 978-3-527-31903-9 .

[20] Макбейн, Шон; Чхве, Ёнсу (1 августа 2021 г.). «Проектирование решетчатой структуры модели уменьшенного порядка по компонентам» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 381 (113813): 113813. arXiv : 2010.10770 . Бибкод : 2021CMAME.381k3813M . дои : 10.1016/j.cma.2021.113813 . S2CID 224818337 .

[21] Ламли, Дж. Л. (1967). Структура неоднородной турбулентности. В кн.: Яглом А.М., Татарский В.И. (Ред.) Атмосферная турбулентность и распространение волн . М.: Наука.

[22] Уолтон, С.; Хасан, О.; Морган, К. (2013). «Моделирование пониженного порядка нестационарного потока жидкости с использованием правильного ортогонального разложения и радиальных базисных функций» . Прикладное математическое моделирование . 37 (20–21): 8930–8945. дои : 10.1016/j.apm.2013.04.025 . ISSN 0307-904X .

[23] Лью, Т.; Фархат, К.; Лесуан, М. (2006). «Моделирование жидкости/структуры пониженного порядка полной конфигурации самолета». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 195 (41–43): 5730–5742. Бибкод : 2006CMAME.195.5730L . дои : 10.1016/j.cma.2005.08.026 . ISSN 0045-7825 .

[24] Сяо, Д.; Ян, П.; Фанг, Ф.; Сян, Дж.; Боль, CC; Навон, ИМ (2016). «Неинтрузивное моделирование взаимодействия жидкости со структурой пониженного порядка» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 303 : 35–54. Бибкод : 2016CMAME.303...35X . дои : 10.1016/j.cma.2015.12.029 . ISSN 0045-7825 .

[25] Кольсиаго, CM; Депарис, С.; Квартерони, А. (2014). «Сравнение моделей пониженного порядка и полных 3D-моделей для задач взаимодействия жидкости и структуры в гемодинамике» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 265 : 120–138. дои : 10.1016/j.cam.2013.09.049 . ISSN 0377-0427 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]