Правильное обобщенное разложение

Правильная обобщенная декомпозиция ( PGD ) — это итерационный численный метод решения краевых задач (BVP), то есть уравнений в частных производных , ограниченных набором граничных условий, таких как уравнение Пуассона или уравнение Лапласа .

Алгоритм PGD вычисляет аппроксимацию решения BVP путем последовательного обогащения. новый компонент (или режим Это означает, что на каждой итерации вычисляется и добавляется к аппроксимации ). В принципе, чем больше мод получено, тем ближе приближение к своему теоретическому решению. В отличие от основных компонентов POD , режимы PGD не обязательно ортогональны друг другу.

Путем выбора только наиболее подходящих режимов ПГД уменьшенного порядка получается модель решения . По этой причине PGD считается алгоритмом уменьшения размерности .

Описание

Правильная обобщенная декомпозиция — это метод, характеризующийся

1. вариационная постановка задачи,
2. дискретизация области в стиле метода конечных элементов ,
3. предположение, что решение можно аппроксимировать как отдельное представление и
4. численный жадный алгоритм для поиска решения.

формулировка

В методе правильной обобщенной декомпозиции вариационная формулировка включает перевод задачи в формат, в котором решение может быть аппроксимировано путем (или иногда максимизации) функционала минимизации . Функционал — это скалярная величина, зависящая от функции, которая в данном случае представляет нашу проблему.

Наиболее распространенной вариационной формулировкой в ​​ПГД является метод Бубнова-Галеркина . Этот метод выбран из-за его способности обеспечивать приближенное решение сложных проблем, например, описываемых уравнениями в частных производных (УЧП). В подходе Бубнова-Галеркина идея состоит в том, чтобы спроецировать проблему на пространство, охватываемое конечным числом базисных функций . Эти базисные функции выбраны для аппроксимации пространства решения задачи.

В методе Бубнова-Галеркина мы ищем приближенное решение, которое удовлетворяет интегральной форме УЧП в области определения задачи. Это отличается от прямого решения дифференциальных уравнений. Таким образом, метод преобразует задачу в поиск коэффициентов, которые лучше всего соответствуют этому интегральному уравнению в выбранном функциональном пространстве.

Хотя метод Бубнова-Галеркина преобладает, в ПГД используются и другие вариационные формулировки: в зависимости от конкретных требований и особенностей задачи, таких как:

• Метод Петрова-Галеркина : Этот метод похож на подход Бубнова-Галеркина, но отличается выбором тестовых функций. В методе Петрова-Галеркина тестовые функции (используемые для проектирования невязки дифференциального уравнения) отличаются от пробных функций (используемых для аппроксимации решения). Это может привести к повышению стабильности и точности решения определенных типов задач.
• Метод коллокации . В методах коллокации дифференциальное уравнение выполняется в конечном числе точек в области, известных как точки коллокации. Этот подход может быть более простым и прямым, чем методы, основанные на интегралах, такие как метод Галёркина, но он также может быть менее стабильным для некоторых задач.
• Метод наименьших квадратов . Этот подход предполагает минимизацию квадрата невязки дифференциального уравнения в области определения. Это особенно полезно при решении проблем, в которых традиционные методы не обеспечивают стабильности или сходимости.
• Смешанный метод конечных элементов . В смешанных методах дополнительные переменные (такие как потоки или градиенты) вводятся и аппроксимируются вместе с основной интересующей переменной. Это может привести к более точным и стабильным решениям некоторых задач, особенно тех, которые связаны с законами несжимаемости или сохранения.
• Прерывистый метод Галеркина : это вариант метода Галеркина, в котором решение может быть разрывным на границах элементов. Этот метод особенно полезен для задач с резкими градиентами или разрывами.

Дискретизация домена

Дискретизация области представляет собой четко определенный набор процедур, которые охватывают (а) создание сеток конечных элементов, (б) определение базисной функции на опорных элементах (также называемых функциями формы) и (в) отображение опорных элементов. на элементы сетки.

Отдельное представительство

ПГД предполагает, что решение u (многомерной) задачи можно аппроксимировать как отдельное представление вида

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d}),$$

где количество слагаемых N и функциональные произведения X ₁ ( x ₁ ), X ₂ ( x ₂ ), ..., X _d ( x _d ), каждое из которых зависит от переменной (или переменных), заранее неизвестны.

Жадный алгоритм

Решение ищется путем применения жадного алгоритма , обычно алгоритма с фиксированной точкой , к слабой формулировке задачи. Для каждой итерации i алгоритма вычисляется мода решения. Каждый режим состоит из набора числовых значений функциональных произведений X ₁ ( x ₁ ), ..., X _d ( x _d ), которые обогащают аппроксимацию решения. Из-за жадного характера алгоритма используется термин «обогащать», а не «улучшать», поскольку некоторые режимы могут фактически ухудшить подход. Количество вычисляемых режимов, необходимых для получения аппроксимации решения ниже определенного порога ошибки, зависит от критерия остановки итерационного алгоритма.

Особенности

ПГД подходит для решения задач большой размерности, поскольку преодолевает ограничения классических подходов. В частности, PGD позволяет избежать проклятия размерности , поскольку решение несвязанных задач требует гораздо меньше вычислительных затрат, чем решение многомерных задач.

Таким образом, PGD позволяет переадаптировать параметрические задачи в многомерную структуру, устанавливая параметры задачи в качестве дополнительных координат:

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},\ldots ,x_{d};k_{1},\ldots ,k_{p})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),$$

ряд функциональных продуктов K ₁ ( k ₁ ), K ₂ ( k ₂ ), ..., K _p ( k _p где в уравнение включен ), каждое из которых зависит от параметра (или параметров).

В этом случае полученное приближение решения называется вычислительным vademecum : общая метамодель, содержащая все частные решения для каждого возможного значения задействованных параметров.

Обучение разреженным подпространствам

Метод Sparse Subspace Learning (SSL) использует иерархическое сочетание для аппроксимации численного решения параметрических моделей. Что касается традиционного моделирования пониженного порядка на основе проекций, использование коллокации обеспечивает неинтрузивный подход, основанный на разреженной адаптивной выборке параметрического пространства. Это позволяет восстановить низкоразмерную структуру подпространства параметрических решений, а также изучить функциональную зависимость от параметров в явном виде. Разреженное приближенное тензорное представление низкого ранга параметрического решения может быть построено с помощью инкрементальной стратегии, для которой требуется только доступ к выходным данным детерминированного решателя. Неинтрузивность делает этот подход легко применимым к сложным задачам, характеризующимся нелинейностью или неаффинными слабыми формами.