Правильное ортогональное разложение

Правильная ортогональная декомпозиция — это численный метод , который позволяет снизить сложность интенсивного компьютерного моделирования, такого как вычислительная гидродинамика и структурный анализ (например, моделирование аварий ). Обычно в гидродинамике и анализе турбулентности он используется для замены уравнений Навье – Стокса более простыми для решения моделями. ^[1]

Он принадлежит к классу алгоритмов, называемых понижением порядка модели (или, сокращенно, уменьшением модели ). По сути, он обучает модель на основе данных моделирования. В этой степени его можно связать с областью машинного обучения .

ПОД и ПКА

Основное использование POD — это разложение физического поля (например, давления, температуры в гидродинамике или напряжения и деформации в структурном анализе) в зависимости от различных переменных, которые влияют на его физическое поведение. Как следует из названия, он выполняет ортогональное разложение вместе с главными компонентами поля. По существу, он аналогичен анализу главных компонент Пирсона в области статистики или разложению по сингулярным значениям в линейной алгебре, поскольку он относится к собственным значениям и собственным векторам физического поля. В этих областях это связано с исследованиями Кархунена. ^[2] и Лоев, ^[3] и их теорема Карунена-Лёва .

Математическое выражение

Первая идея правильного ортогонального разложения (POD), первоначально сформулированная в области гидродинамики для анализа турбулентности, заключается в разложении случайного векторного поля u(x, t) на набор детерминированных пространственных функций Φ _k ( x ), модулированный случайными временными коэффициентами a _k ( t ), так что:

u(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(t)\phi _{k}(x)

Первым шагом является выборка векторного поля в течение определенного периода времени в виде так называемых снимков (как показано на изображении снимков POD). Этот метод моментального снимка ^[4] усредняет выборки по размерности пространства n и коррелирует их друг с другом по временным выборкам p :

U={\begin{pmatrix}u(x_{1},t_{1})&\cdots &u(x_{n},t_{1})\\\vdots &&\vdots \\u(x_{1},t_{p})&\cdots &u(x_{n},t_{p})\end{pmatrix}}

с n пространственными элементами и p временными выборками

Следующий шаг — вычисление ковариационной матрицы C

C={\frac {1}{(p-1)}}U^{T}U

Затем мы вычисляем собственные значения и собственные векторы C и упорядочиваем их от наибольшего собственного значения к наименьшему.

Мы получаем n собственных значений λ1,...,λn и набор из n собственных векторов, расположенных в виде столбцов в матрице Φ размера n × n:

\phi ={\begin{pmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{n,1}&\cdots &\phi _{n,n}\end{pmatrix}}

Ссылки

^ Беркуз, Г; Холмс, П; Ламли, Дж. Л. (январь 1993 г.). «Правильное ортогональное разложение при анализе турбулентных потоков» . Ежегодный обзор механики жидкости . 25 (1): 539–575. Бибкод : 1993AnRFM..25..539B . дои : 10.1146/annurev.fl.25.010193.002543 . ISSN 0066-4189 .
^ Кархунен, Кари (1946). К спектральной теории случайных процессов .
^ Дэвид, ФН; Лоев, М. (декабрь 1955 г.). «Теория вероятностей» . Биометрика . 42 (3/4): 540. дои : 10.2307/2333409 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2333409 .
^ Сирович, Лоуренс (1 октября 1987 г.). «Турбулентность и динамика когерентных структур. I. Когерентные структуры» . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 45 (3): 561–571. дои : 10.1090/qam/910462 . ISSN 0033-569X .

Внешние ссылки

Массачусетский технологический институт: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf.
Стэнфордский университет – Чарбель Фархат и Дэвид Амсаллем https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-CME345-Ch4.pdf
Вайс, Жюльен: Учебное пособие по правильному ортогональному разложению. В: Авиационный форум AIAA 2019. 17–21 июня 2019 г., Даллас, Техас, США.
Курс французского языка от CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
Применение метода правильного ортогонального разложения http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf

[1] Беркуз, Г; Холмс, П; Ламли, Дж. Л. (январь 1993 г.). «Правильное ортогональное разложение при анализе турбулентных потоков» . Ежегодный обзор механики жидкости . 25 (1): 539–575. Бибкод : 1993AnRFM..25..539B . дои : 10.1146/annurev.fl.25.010193.002543 . ISSN 0066-4189 .

[2] Кархунен, Кари (1946). К спектральной теории случайных процессов .

[3] Дэвид, ФН; Лоев, М. (декабрь 1955 г.). «Теория вероятностей» . Биометрика . 42 (3/4): 540. дои : 10.2307/2333409 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2333409 .

[4] Сирович, Лоуренс (1 октября 1987 г.). «Турбулентность и динамика когерентных структур. I. Когерентные структуры» . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 45 (3): 561–571. дои : 10.1090/qam/910462 . ISSN 0033-569X .

[1]

[2]

[3]

[4]