Крест Грамиан

В теории управления Грамиана крест ( $W_{X}$, также упоминаемый $W_{CO}$) — матрица Грама, используемая для определения того, насколько управляемой и наблюдаемой является линейная система.

Для устойчивой стационарной линейной системы

${\dot {x}}=Ax+Bu\,$

$y=Cx\,$

перекрестный Грамиан определяется как:

$W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,$

и, таким образом, также определяется решением уравнения Сильвестра :

$AW_{X}+W_{X}A=-BC\,$

Это означает, что перекрестный грамиан не является строго матрицей Грама , поскольку он обычно не является ни положительно полуопределенным, ни симметричным.

тройка $(A,B,C)$ управляема , а значит, минимальна тогда и только тогда , и наблюдаема когда матрица $W_{X}$ является неособым (т.е. $W_{X}$ имеет полный ранг для любого $t>0$).

Если соответствующая система $(A,B,C)$ кроме того, симметричен, так что существует преобразование $J$ с

$AJ=JA^{T}\,$

$B=JC^{T}\,$

тогда абсолютное значение крест собственных значений -грамиана равно сингулярным значениям Ганкеля :

$|\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,$

Таким образом, прямое усечение собственного разложения перекрестного Грамиана позволяет уменьшить порядок модели (см. [1] ) без процедуры балансировки в отличие от сбалансированного усечения .

Перекрестный Грамиан также находит применение в децентрализованном управлении , анализе чувствительности и обратном преобразовании рассеяния .

См. также

• Управляемость Грамиан
• Наблюдаемость Грамиана