Сокращение Крона

В энергетике исключения сокращение Крона — это метод, используемый для уменьшения или исключения нужного узла без необходимости повторения шагов, подобных методу Гаусса . ^[1]

Он назван в честь американского инженера-электрика Габриэля Крона .

Описание

Сокращение Крона — полезный инструмент для исключения неиспользуемых узлов в матрице Y-параметров . ^[2]^[3] Например, три линейных элемента, соединенных последовательно с портом на каждом конце, можно легко смоделировать как узловую матрицу проводимости Y-параметров 4X4, но для моделирования и моделирования обычно необходимо учитывать только два узла порта. Сокращение Крона может использоваться для исключения внутренних узлов и, таким образом, уменьшения матрицы Y-параметров 4-го порядка до матрицы Y-параметров 2-го порядка. Матрицу Y-параметров 2-го порядка при необходимости легче преобразовать в матрицу Z-параметров или матрицу S-параметров .

Матричные операции

Рассмотрим общую матрицу Y-параметров, которая может быть создана из комбинации линейных элементов, построенных так, что существуют два внутренних узла.

$Y{_{4}}{_{X}}{_{4}}={\begin{bmatrix}Y{_{1}}{_{1}}&Y{_{1}}{_{2}}&Y{_{1}}{_{3}}&Y{_{1}}{_{4}}\\Y{_{2}}{_{1}}&Y{_{2}}{_{2}}&Y{_{2}}{_{3}}&Y{_{2}}{_{4}}\\Y{_{3}}{_{1}}&Y{_{3}}{_{2}}&Y{_{3}}{_{3}}&Y{_{3}}{_{4}}\\Y{_{4}}{_{1}}&Y{_{4}}{_{2}}&Y{_{4}}{_{3}}&Y{_{4}}{_{4}}\\\end{bmatrix}}$

Хотя в моделировании можно использовать матрицу 4X4 или построить матрицу S-параметров 4X4, может быть проще уменьшить матрицу Y-параметров до 2X2, исключив два внутренних узла с помощью сокращения Крона, а затем моделируя с помощью Матрица 2X2 и/или преобразование в матрицу S-параметров или Z-параметров 2X2.

$Y'{_{2}}{_{X}}{_{2}}={\begin{bmatrix}Y'{_{1}}{_{1}}&Y'{_{1}}{_{2}}\\Y'{_{2}}{_{1}}&Y'{_{2}}{_{2}}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {Where\ Y'\ is\ the\ Kron\ Reduced\ Matrix}$

Процесс выполнения сокращения Kron выглядит следующим образом: ^[4]

Выберите K-ю строку/столбец, используемый для моделирования нежелательных внутренних узлов, которые необходимо исключить. Примените приведенную ниже формулу ко всем остальным элементам матрицы, которые не находятся в K-й строке и столбце. Затем просто удалите K-ю строку и столбец матрицы, что уменьшит размер матрицы на единицу.

Сокращение Крона для K-й строки/столбца матрицы NxN:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},&\qquad for\ i\neq k,,j\neq k\\&\qquad \mathrm {Where\ Y'\ is\ The\ Replacement\ Matrix\ Entry} \\\end{aligned}}$

Линейные элементы, которые также являются пассивными, всегда образуют симметричную матрицу Y-параметров, то есть $Y{_{i}}{_{j}}=Y{_{j}}{_{i}}$ во всех случаях. Количество вычислений при сокращении Крона можно сократить, воспользовавшись этой симметрией, как показано в уравнении ниже.

Редукция Крона для симметричных матриц NxN:

${\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=i}^{N}Y'{_{i}}{_{j}}=Y{_{i}}{_{j}}-{\frac {Y{_{i}}{_{k}}Y{_{j}}{_{k}}}{Y{_{k}}{_{k}}}},\qquad for\ i\neq k,j\neq k\\&Y{_{j}}{_{i}}=Y{_{i}}{_{j}},\qquad for\ i\neq j\\\end{aligned}}$

После того, как все элементы матрицы были изменены уравнением редукции Крона, K-я строка/столбец удаляется, а порядок матрицы уменьшается на единицу. Повторите эти действия для всех внутренних узлов, которые необходимо устранить.

Упрощенная теория и вывод

Концепция сокращения Kron довольно проста. Y-параметры измеряются с использованием узлов, закороченных на землю, но неиспользуемые узлы, то есть узлы без портов, не обязательно заземлены, и их состояние напрямую не известно извне. Следовательно, матрица Y-параметров всей сети неадекватно описывает Y-параметр моделируемой сети и содержит посторонние записи, если некоторые узлы не имеют портов.

Рассмотрим случай двух последовательно соединенных элементов с сосредоточенными параметрами одинакового значения, например, двух резисторов с одинаковым сопротивлением. Если оба резистора имеют проводимость ${\textstyle Y_{R}}$ , и серийная сеть имеет допуск ${\textstyle Y_{R}/2}$ . Полная матрица допусков, учитывающая все три узла сети, будет выглядеть, как показано ниже, с использованием стандартных методов построения матрицы Y-параметров:

$Y_{FULL}={\begin{bmatrix}0&-Y_{R}&Y_{R}\\-Y_{R}&2Y_{R}&-Y_{R}\\Y_{R}&-Y_{R}&0\end{bmatrix}}$

Однако легко заметить, что два последовательно соединенных резистора, каждый с назначенным адмиттансом Y, имеют чистый адмиттанс ${\textstyle Y_{R}/2}$ , а поскольку резисторы не пропускают ток на землю, то цепь Y12 равна и противоположна YR11, то есть YR12 = -YR11. Сеть с двумя портами без среднего узла может быть создана путем проверки и показана ниже:

$Y_{PORTS}={\begin{bmatrix}-Y_{R}/2&Y_{R}/2\\Y_{R}/2&-Y_{R}/2\end{bmatrix}}$

Поскольку строка и столбец 2 ${\textstyle Y_{FULL}}$ матрицу следует исключить, мы можем переписать ${\textstyle Y_{FULL}}$ без строки 2 и столбца 2. Назовем эту переписанную матрицу ${\textstyle Y'_{FULL}}$ .

$Y'_{FULL}={\begin{bmatrix}0&Y_{R}\\Y_{R}&0\end{bmatrix}}$

Теперь у нас есть основа для создания уравнения перевода, найдя уравнение, которое переводит каждую запись в ${\textstyle Y'_{FULL}}$ к соответствующей записи в ${\textstyle Y_{PORTS}}$ :

${\begin{bmatrix}0\Rightarrow -Y_{R}/2&Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2\\Y_{R}\Rightarrow Y_{R}/2&0\Rightarrow -Y_{R}/2\end{bmatrix}}$

Для каждой из четырех записей можно заметить, что вычитание $Y_{R}/2$ значение, указанное слева от стрелки, успешно выполняет перевод. С $Y_{R}/2$ идентичен ${Y_{R}}^{2}/(2Y_{R})$ , каждый случай ${\textstyle Y'_{FULL}}$ соответствует условию $Y'_{ij}=Y_{ij}-Y_{ij}Y_{ji}/Y_{kk}$ показано в общих уравнениях перевода.

Тот же процесс можно использовать для элементов произвольного пропускания ( $Y_{11}\neq -Y_{12},Y_{ij}\neq Y_{ji}$ и т. д.) и сети произвольного размера, но алгебра становится более сложной. Хитрость заключается в том, чтобы вывести и/или вычислить выражение, которое преобразует исходные элементы матрицы в уменьшенные элементы матрицы.

См. также

Ссылки

^ Калискан, Сина Ямак; Табуада, Пауло (2014). «Крон-редукция обобщенных электрических сетей». Автоматический . 50 (10): 2586–2590. дои : 10.1016/j.automatica.2014.08.017 .
^ «Элементы анализа энергетических систем» (PDF) .
^ Грейнджер и Стивенсон, Джон и Уильям (1994). Анализ энергосистемы (изд. Тата). Сингапур: МакГроу-Хилл. стр. 271–274. ISBN 0-07-113338-0 .
^ «Устранение узла путем уменьшения Крона» .

Эта статья, связанная с электричеством, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Калискан, Сина Ямак; Табуада, Пауло (2014). «Крон-редукция обобщенных электрических сетей». Автоматический . 50 (10): 2586–2590. дои : 10.1016/j.automatica.2014.08.017 .

[2] «Элементы анализа энергетических систем» (PDF) .

[3] Грейнджер и Стивенсон, Джон и Уильям (1994). Анализ энергосистемы (изд. Тата). Сингапур: МакГроу-Хилл. стр. 271–274. ISBN 0-07-113338-0 .

[4] «Устранение узла путем уменьшения Крона» .

[1]

[2]

[3]

[4]