Доказательства, связанные с добавлением натуральных чисел.
Эта статья содержит математические доказательства некоторых свойств сложения натуральных чисел : аддитивного тождества, коммутативности и ассоциативности. Эти доказательства использованы в статье Сложение натуральных чисел .
Определения [ править ]
будут использоваться аксиомы Пеано В этой статье для определения натуральных чисел . С помощью этих аксиом сложение определяется из константы 0 и функции-преемника S(a) по двум правилам
| А1: | а + 0 = а |
| А2: | а + S( б ) = S( а + б ) |
Для доказательства коммутативности полезно дать имя «1» преемнику 0; то есть,
- 1 = S(0).
Для каждого натурального числа a существует
| С( а ) | ||
| = | С( а + 0) | [by A1] |
| = | а + S(0) | [по А2] |
| = | а + 1 | [по Def. из 1] |
Доказательство ассоциативности [ править ]
Мы доказываем ассоциативность , сначала фиксируя натуральные числа a и b и применяя индукцию по натуральному числу c .
Для базового случая c = 0,
- ( а + б ) + 0 = а + б = а + ( б + 0)
Каждое уравнение следует по определению [A1]; первый с a + b , второй с b .
Теперь, что касается индукции. Мы принимаем предположение индукции, а именно предполагаем, что для некоторого натурального числа c ,
- ( а + б ) + с знак равно а + ( б + с )
Затем следует,
| ( а + б ) + S ( с ) | ||
| = | S (( а + б ) + с ) | [по А2] |
| = | S ( а + ( б + с )) | [по гипотезе индукции] |
| = | а + S ( б + в ) | [по А2] |
| = | а + ( б + S ( с )) | [по А2] |
Другими словами, гипотеза индукции справедлива для S ( c ). Следовательно, индукция по c завершена.
Элемент удостоверения личности [ править ]
Определение [А1] прямо утверждает, что 0 — правая тождество .Докажем, что 0 — левое тождество , индукцией по натуральному числу a .
Для базового случая a = 0, 0 + 0 = 0 по определению [A1].Теперь мы предполагаем предположение индукции, что 0 + a = a .Затем
| 0 + С ( а ) | ||
| = | С (0 + а ) | [по А2] |
| = | С ( а ) | [по гипотезе индукции] |
На этом индукция по a завершена .
коммутативности Доказательство
) докажем Коммутативность ( a + b = b + a , применяя индукцию по натуральному числу b . Сначала мы доказываем базовые случаи b = 0 и b = S (0) = 1 (т.е. мы доказываем, что 0 и 1 коммутируют со всем).
Базовый случай b = 0 следует непосредственно из свойства единичного элемента (0 — аддитивное тождество ), доказанное выше: а + 0 знак равно а знак равно 0 + а .
Далее мы докажем базовый случай b = 1, когда 1 коммутирует со всем, т. е. для всех натуральных чисел a мы имеем a + 1 = 1 + a . Мы докажем это индукцией по a (индукционное доказательство внутри индукционного доказательства). Мы доказали, что 0 коммутирует со всем, поэтому, в частности, 0 коммутирует с 1: для a = 0 имеем 0 + 1 = 1 + 0. Теперь предположим, что a + 1 = 1 + a . Затем
| С ( а ) + 1 | ||
| = | С ( а ) + С (0) | [по Def. из 1] |
| = | С ( С ( а ) + 0) | [по А2] |
| = | S (( а + 1) + 0) | [как показано выше ] |
| = | С ( а + 1) | [by A1] |
| = | С (1 + а ) | [по гипотезе индукции] |
| = | 1 + С ( а ) | [по А2] |
Это завершает индукцию по a , и мы доказали базовый случай b = 1. Теперь предположим, что для всех натуральных чисел a мы имеем a + b = b + a . Мы должны показать, что для всех натуральных чисел a имеем a + S ( b ) = S ( b ) + a . У нас есть
| а + S ( б ) | ||
| = | а + ( б + 1) | [как показано выше ] |
| = | ( а + б ) + 1 | [по ассоциативности] |
| = | ( б + а ) + 1 | [по гипотезе индукции] |
| = | б + ( а + 1) | [по ассоциативности] |
| = | б + (1 + а ) | [по базовому случаю b = 1] |
| = | ( б + 1) + а | [по ассоциативности] |
| = | С ( б ) + а | [как показано выше ] |
На этом индукция по b завершается .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Эдмунд Ландау , Основы анализа, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X .