Сопряженное уравнение

Сопряженное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение , обычно полученное из основного уравнения путем интегрирования по частям . Значения градиента относительно конкретной интересующей величины можно эффективно рассчитать, решив сопряженное уравнение. Методы, основанные на решении сопряженных уравнений, используются при оптимизации формы крыла , управлении потоком жидкости и количественной оценке неопределенности .

Пример: Адвективно-диффузионный PDE.

Рассмотрим следующее линейное скалярное уравнение адвекции-диффузии для основного решения $u({\vec {x}})$, в домене $\Omega$ с граничными условиями Дирихле :

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

Пусть интересующий результат будет следующим линейным функционалом:

$J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.$

Выведите слабую форму , умножив основное уравнение на весовую функцию. $w({\vec {x}})$ и выполним интегрирование по частям:

${\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}$

где,

${\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integration by parts)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}$

Затем рассмотрим бесконечно малое возмущение $L(w)$ что приводит к бесконечно малому изменению $u$ следующее:

${\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{aligned}}$

Заметим, что возмущение решения $u'$ должно обращаться в нуль на границе, так как граничное условие Дирихле не допускает изменения $\partial \Omega$.

Используя приведенную выше слабую форму и определение сопряженного $\psi ({\vec {x}})$ приведено ниже:

${\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B(u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}$

мы получаем:

${\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{aligned}}$

Далее воспользуемся интегрированием по частям для переноса производных от $u'$ в производные от $\psi$:

${\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}\\\int _{\Omega }u'\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}$

Сопряженное УЧП и его граничные условия можно вывести из последнего уравнения, приведенного выше. С $u'$ обычно не равно нулю в пределах домена $\Omega$, требуется, чтобы $\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]$ быть нулевым в $\Omega$, чтобы член объема обратился в нуль. Аналогично, поскольку первичный поток $\left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}$ обычно отличен от нуля на границе, мы требуем $\psi$ там быть нулевым, чтобы первый граничный член обратился в нуль. Второй граничный член тривиально обращается в нуль, поскольку основное граничное условие требует $u'=0$ на границе.

Следовательно, сопряженная задача имеет вид:

${\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

Обратите внимание, что член адвекции меняет знак конвективной скорости ${\vec {c}}$ в сопряженном уравнении, тогда как диффузионный член остается самосопряженным.

См. также

• Метод присоединенного состояния
• Уравнения стоимости

Ссылки

• Джеймсон, Энтони (1988). «Аэродинамический дизайн через теорию управления». Журнал научных вычислений . 3 (3): 233–260. дои : 10.1007/BF01061285 . hdl : 2060/19890004037 . S2CID   7782485 .