Многокамерная модель

Модель с несколькими отсеками — это тип математической модели, используемой для описания способа передачи материалов или энергии между отсеками системы. Иногда физическая система, которую мы пытаемся смоделировать с помощью уравнений, слишком сложна, поэтому гораздо проще дискретизировать задачу и уменьшить количество параметров. Предполагается, что каждый отсек представляет собой однородный объект, внутри которого моделируемые объекты эквивалентны. Модель с несколькими отсеками классифицируется как модель с сосредоточенными параметрами . Подобно более общим математическим моделям , модели с несколькими отсеками могут рассматривать переменные как непрерывные, например, дифференциальное уравнение , или как дискретные, например, цепь Маркова . В зависимости от моделируемой системы их можно рассматривать как стохастические или детерминированные.

Многокамерные модели используются во многих областях, включая фармакокинетику , эпидемиологию , биомедицину , теорию систем , теорию сложности , инженерию, физику, информатику и социальные науки. Системы цепей также можно рассматривать как модель с несколькими отсеками. Чаще всего математика моделей с несколькими отсеками упрощается, чтобы обеспечить только один параметр, например концентрацию, внутри отсека.

В теории систем

В теории систем оно включает описание сети, компонентами которой являются отсеки, представляющие совокупность элементов, эквивалентных по способу обработки входных сигналов в отсек.

Мгновенное однородное распределение материалов или энергий внутри «отсека».
Скорость обмена материалов или энергии между отсеками связана с плотностью этих отсеков.
Обычно желательно, чтобы материалы не вступали в химические реакции при перемещении между отсеками.
Когда интерес представляет концентрация клетки, обычно предполагается, что объем остается постоянным во времени, хотя на самом деле это может быть не совсем так.

Однокамерная модель

Возможно, самым простым применением многокамерной модели является мониторинг концентрации отдельных клеток (см. рисунок выше). Если объем клетки равен V , масса растворенного вещества q , вход u ( t ), а секреция раствора пропорциональна его плотности внутри клетки, то концентрация раствора C внутри клетки с течением времени определяется

{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=u(t)-kq

C={\frac {q}{V}}

Где k – пропорциональность.

Программное обеспечение

Имитационный анализ и моделирование 2 SAAM II — это программная система, разработанная специально для помощи в разработке и тестировании многокамерных моделей. Он имеет удобный графический интерфейс пользователя.при этом отдельные модели создаются путем создания визуального представления модели. На основе этой модели программа автоматически создает системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Программа может какмоделировать и подгонять модели к данным, возвращая оптимальные оценки параметров и соответствующую статистику. Он был разработан учеными, изучающими метаболизм и кинетику гормонов (например, глюкозы, липидов или инсулина). ^[1] Затем его использовали для исследований индикаторов и фармакокинетики. Хотя модель с несколькими отсеками в принципе может быть разработана и запущена с помощью другого программного обеспечения, такого как языки MATLAB или C++, пользовательский интерфейс, предлагаемый SAAM II, позволяет разработчику моделирования (и не моделистам) лучше управлять системой, особенно когда сложность увеличивается. .

Дискретная компартментальная модель

Дискретные модели связаны с дискретными переменными, часто с временным интервалом. $\Delta t$ . Примером дискретной многокамерной модели является дискретная версия модели Лотки-Вольтерра . ^[2] Здесь рассмотрим два отсека добычи и хищников, обозначенные $x(t)$ и $y(t)$ соответственно. Отсеки связаны друг с другом членами действия масс в каждом уравнении. За дискретный временной шаг $\Delta t$ , мы получаем

${\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+\alpha x(t)\Delta t-\beta x(t)y(t)\Delta t\\y(t+\Delta t)&=y(t)+\delta x(t)y(t)\Delta t-\gamma y(t)\Delta t.\end{aligned}}$

Здесь

тот $x(t)$ и $y(t)$ термины представляют численность этого населения в данный момент времени $t$ ;
тот $\alpha x(t)\Delta t$ термин представляет собой рождение добычи;
термин массовых действий $\beta x(t)y(t)\Delta t$ – количество жертв, погибших из-за хищников;
термин массовых действий $\delta x(t)y(t)\Delta t$ представляет рождение хищников в зависимости от съеденной добычи;
тот $\gamma y(t)\Delta t$ срок – гибель хищников;
$\alpha ,\beta ,\delta ,$ и $\gamma$ являются действительными параметрами, определяющими веса каждого переходного термина.

Эти уравнения легко решаются итерационным способом.

Непрерывная компартментальная модель

Дискретный пример Лотки-Вольтерры, приведенный выше, можно превратить в непрерывную версию, переставив и приняв предел как $\Delta t\rightarrow 0$ .

${\begin{aligned}&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy\\&\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}\equiv {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}$

Это дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматривая эту модель как дифференциальные уравнения, можно использовать методы исчисления для более глубокого изучения динамики системы.

Многокамерная модель

По мере увеличения количества отсеков модель может стать очень сложной, а решения обычно выходят за рамки обычного расчета.

Формулы для n-ячеечных многокамерных моделей выглядят следующим образом:

{\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}

Где

0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}

для

j=1,2,\dots ,n

(поскольку общее «содержимое» всех отсеков в закрытой системе постоянно)

Или в матричной форме:

\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u}

Где

\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}

и

{\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}

(поскольку общее «содержимое» всех отсеков в закрытой системе постоянно)

В частном случае закрытой системы (см. ниже), т. е. когда $\mathbf {u} =0$ тогда есть общее решение.

\mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}}

Где $\lambda _{1}$ , $\lambda _{2}$ , ... и $\lambda _{n}$ являются собственными значениями $\mathbf {K}$ ; $\mathbf {v_{1}}$ , $\mathbf {v_{2}}$ , ... и $\mathbf {v_{n}}$ являются соответствующими собственными векторами $\mathbf {K}$ ; и $c_{1}$ , $c_{2}$ , .... и $c_{n}$ являются константами.

Однако можно показать, что, учитывая вышеуказанное требование обеспечения постоянства «содержимого» замкнутой системы, тогда для каждой пары собственного значения и собственного вектора либо $\lambda =0$ или ${\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0$ а также то, что одно собственное значение равно 0, скажем $\lambda _{1}$

Так

\mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}}

Где

{\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0

для

\mathbf {i} =2,3,\dots n

Это решение можно переставить:

\mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}

Это несколько неэлегантное уравнение демонстрирует, что все решения многокамерной n-ячеечной модели с постоянными входными данными или без них имеют вид:

\mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}

Где $\mathbf {A}$ представляет собой матрицу nxn и $\lambda _{2}$ , $\lambda _{3}$ , ... и $\lambda _{n}$ являются константами.Где ${\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}$

Модельные топологии

Вообще говоря, по мере увеличения количества отсеков становится все сложнее найти как алгебраические, так и численные решения модели. Однако существуют особые случаи моделей, которые редко существуют в природе, когда в топологиях обнаруживаются определенные закономерности, благодаря которым решения становится легче найти. Модель можно классифицировать по взаимосвязи ячеек и характеристикам входа/выхода:

Закрытая модель : Нет раковин и источников, горит. все k _oi = 0 и u _i = 0;
Открытая модель : среди ячеек есть стоки и/или источники.
Цепная модель : все отсеки расположены в цепочку, причем каждый бассейн соединяется только со своими соседями. Эта модель имеет две или более ячеек.
Циклическая модель : это частный случай цепной модели с тремя или более ячейками, в которых первая и последняя ячейки соединены, т.е. k _{1 n} ≠ 0 или/и k _{n 1} ≠ 0.
Маммиллярная модель : Состоит из центрального отсека и соединяющихся с ним периферийных отсеков. Между другими отсеками нет взаимосвязей.
Сокращаемая модель : это набор несвязанных моделей. Это очень похоже на компьютерную концепцию леса в отличие от деревьев .

См. также

Ссылки

^ Кобелли, Клаудио; Фостер, Дэвид (1998). «Комплексные модели: теория и практика с использованием программного комплекса SAAM II». Adv Exp Med Biol (445): 79–101. дои : 10.1007/978-1-4899-1959-5_5 .
^ Тауэрс, Шерри. «Введение в компартментальное моделирование | Полиматея» . Проверено 20 марта 2022 г.

Годфри, К., Частные модели и их применение , Academic Press, 1983 (( ISBN 0-12-286970-2 ).
Андерсон, Д. Х., Частичное моделирование и кинетика индикаторов , Конспекты лекций Springer-Verlag по биоматематике № 50, 1983 ( ISBN 0-387-12303-2 ).
Жак, Дж. А., Компартментальный анализ в биологии и медицине , 2-е изд., Издательство Мичиганского университета, 1985.
Эванс, В.К., Линейные системы, частичное моделирование и проблемы оценки в исследованиях IAQ, в Тиченоре, Б., Характеристика источников загрязнения воздуха внутри помещений и связанных с ними поглотительных эффектов , ASTM STP 1287, стр. 239–262, 1996 ( ISBN 0-8031-2030-3 ).

[1] Кобелли, Клаудио; Фостер, Дэвид (1998). «Комплексные модели: теория и практика с использованием программного комплекса SAAM II». Adv Exp Med Biol (445): 79–101. дои : 10.1007/978-1-4899-1959-5_5 .

[2] Тауэрс, Шерри. «Введение в компартментальное моделирование | Полиматея» . Проверено 20 марта 2022 г.

[1]

[2]