Эластичность дуги

В математике и экономике дуговая эластичность — это эластичность одной переменной по отношению к другой между двумя заданными точками. Это отношение процентного изменения одной из переменных между двумя точками к процентному изменению другой переменной. Она контрастирует с точечной эластичностью , которая является пределом дуговой эластичности, когда расстояние между двумя точками приближается к нулю и, следовательно, определяется в одной точке, а не для пары точек.

Как и точечная эластичность, дуговая эластичность может меняться по значению в зависимости от начальной точки. Например, дуговая эластичность предложения продукта по цене продукта может быть большой, когда начальная и конечная цены низкие, но может быть малой, когда они обе высокие. 20%/10%=2

Формула

Дуговая эластичность x : определяется как

E_{x,y}={\frac {\%{\mbox{ change in }}x}{\%{\mbox{ change in }}y}}

где процентное изменение при переходе от точки 1 к точке 2 обычно рассчитывается относительно средней точки:

\%{\mbox{ change in }}x={\frac {x_{2}-x_{1}}{(x_{2}+x_{1})/2}};

\%{\mbox{ change in }}y={\frac {y_{2}-y_{1}}{(y_{2}+y_{1})/2}}.

Использование формулы эластичности дуги средней точки (где средняя точка используется в качестве основы изменения, а не начальной точки ( x ₁ , y ₁ ), которая используется почти во всех других контекстах для расчета процентов) было предложено RGD Allen для используется, когда x относится к количеству товара, на который имеется спрос или предложение, а y относится к его цене, из-за следующих свойств: (1) он симметричен относительно двух цен и количества, (2) он не зависит от единиц измерения. измерения, и (3) оно дает значение, равное единице, если общие доходы (цена, умноженная на количество) в двух точках равны. ^[1]

Дуговая эластичность используется, когда не существует общей функции связи двух переменных, но известны две точки связи. Напротив, расчет точечной эластичности требует детального знания функциональной зависимости и может быть рассчитан везде, где определена функция.

Для сравнения, по y точечная эластичность x определяется выражением

E_{x,y}={\frac {\partial x}{\partial y}}\cdot {\frac {y}{x}}={\frac {\partial \ln x}{\partial \ln y}}

Применение в экономике

Дуговая эластичность спроса (или количества предложения) Q по цене P, также известная как дуговая эластичность спроса (или предложения) по цене, рассчитывается как ^[2]

(\%{\mbox{ change in }}Q)/(\%{\mbox{ change in }}P)

Пример

Предположим, что две точки на кривой спроса $(Q_{1},P_{1})$ и $(Q_{2},P_{2})$ , известны. (О кривой спроса больше ничего не известно.) Тогда дуговая эластичность получается по формуле

E_{p}={\frac {\frac {Q_{2}-Q_{1}}{(Q_{1}+Q_{2})/2}}{\frac {P_{2}-P_{1}}{(P_{1}+P_{2})/2}}}.

Предположим, что количество хот-догов, требуемое в перерыве между таймами футбольных матчей, измерено в двух разных играх, в которых взимаются две разные цены: при одном измерении спрос составляет 80 единиц, а при другом измерении — 120 единиц. Процентное изменение, измеренное по сравнению со средним значением, составит (120-80)/((120+80)/2))=40%. Если бы измерения проводились в обратной последовательности (сначала 120, а затем 80), абсолютное значение процентного изменения было бы таким же.

Напротив, если бы процентное изменение требуемого количества измерялось по сравнению с первоначальным значением, рассчитанное процентное изменение составило бы (120-80)/80 = 50%. Процентное изменение для обратной последовательности наблюдений со 120 единиц на 80 единиц составит (80-120)/120 = -33,3%. Преимущество формулы средней точки состоит в том, что процентное изменение от A до B измеряется в абсолютном значении так же, как и от B до A.

Предположим, что изменение цены на хот-доги, которое привело к изменению количества спроса с 80 до 120, составило с 3 до 1 доллара. Процентное изменение цены, измеренное относительно средней точки, будет (1-3)/2 = -100%, поэтому ценовая эластичность спроса составляет 40%/(-100%) или -0,4. ценовой эластичности принято называть Абсолютное значение просто ценовой эластичностью, поскольку для нормальной (убывающей) кривой спроса эластичность всегда отрицательна, и поэтому «минусовую» часть можно сделать неявной. Таким образом, дуговая ценовая эластичность спроса футбольных болельщиков равна 0,4.

См. также

Ссылки

^ Аллен, RGD (1933). «Концепция дуговой эластичности спроса». Обзор экономических исследований . 1 (3): 226–229. дои : 10.2307/2967486 . JSTOR 2967486 .
^ Паркин, Майкл; Пауэлл, Мелани; Мэтьюз, Кент (2014). «Эластичность». Экономика (9-е европейское изд.). Харлоу: Пирсон. п. 82. ИСБН 978-1-292-00945-2 .

[1] Аллен, RGD (1933). «Концепция дуговой эластичности спроса». Обзор экономических исследований . 1 (3): 226–229. дои : 10.2307/2967486 . JSTOR 2967486 .

[2] Паркин, Майкл; Пауэлл, Мелани; Мэтьюз, Кент (2014). «Эластичность». Экономика (9-е европейское изд.). Харлоу: Пирсон. п. 82. ИСБН 978-1-292-00945-2 .

[1]

[2]