М-сплайн

В математической области численного анализа М -сплайн — неотрицательная сплайн- функция.

Семейство М-сплайнов третьего порядка с четырьмя внутренними узлами.

Определение

Семейство M-сплайн- функций порядка k с n свободными параметрами определяется набором узлов t ₁ ⩽ t ₂ ⩽ ... ⩽ t _{n + k} таких, что

• т ₁ = ... = т _к
• т _{н +1} = ... = т _{н + k}
• t _i < t _{i + k} для всех i

Семейство включает n членов, индексированных i = 1,..., n .

Характеристики

M -сплайн M _i ( x | k , t ) имеет следующие математические свойства

• M _i ( x | k , t ) неотрицательный
• M _i ( x | k , t ) равно нулю, если только t _i ≤ x < t _{i + k}
• M _i ( x | k , t ) имеет k − 2 непрерывные производные во внутренних узлах t _{k +1} , ..., t _{n −1}
• M _i ( x | k , t ) интегрируется до 1

Вычисление

M-сплайны можно эффективно и стабильно вычислять с помощью следующих рекурсий:

Для к = 1,

$M_{i}(x|1,t)={\frac {1}{t_{i+1}-t_{i}}}$

если t _i ≤ x < t _{i +1} , и M _i ( x |1, t ) = 0 в противном случае.

Для к > 1

$M_{i}(x|k,t)={\frac {k\left[(x-t_{i})M_{i}(x|k-1,t)+(t_{i+k}-x)M_{i+1}(x|k-1,t)\right]}{(k-1)(t_{i+k}-t_{i})}}.$

Приложения

М-сплайны можно интегрировать для создания семейства монотонных сплайнов, называемых I-сплайнами . M-сплайны также можно использовать непосредственно в качестве базовых сплайнов для регрессионного анализа, включающего данные положительного ответа (с ограничением неотрицательности коэффициентов регрессии).