Функция Ламе

В математике функция Ламе , или эллипсоидальная гармоническая функция , является решением уравнения Ламе второго порядка , обыкновенного дифференциального уравнения . Он был представлен в статье ( Габриэль Ламе , 1837 г. ). Уравнение Ламе появляется в методе разделения переменных, примененном к уравнению Лапласа в эллиптических координатах . В некоторых особых случаях решения могут быть выражены через полиномы, называемые полиномами Ламе .

Уравнение Ламе

Уравнение Ламе:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(A+B\wp (x))y=0,

где A и B — константы, а $\wp$ – эллиптическая функция Вейерштрасса . Наиболее важным случаем является случай, когда $B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x$ , где $\operatorname {sn}$ — эллиптическая синусоидальная функция , а $\kappa ^{2}=n(n+1)k^{2}$ для целого числа n и $k$ эллиптический модуль, и в этом случае решения распространяются на мероморфные функции, определенные на всей комплексной плоскости. При других значениях B решения имеют точки ветвления .

Заменив независимую переменную на $t$ с $t=\operatorname {sn} x$ , уравнение Ламе также можно переписать в алгебраической форме как

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,

которое после замены переменной становится частным случаем уравнения Гойна .

Более общая форма уравнения Ламе — это эллипсоидное уравнение или эллипсоидное волновое уравнение , которое можно записать (заметьте, что теперь мы пишем $\Lambda$ , нет $A$ как указано выше)

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\operatorname {sn} ^{4}x)y=0,

где $k$ - эллиптический модуль эллиптических функций Якоби и $\kappa$ и $\Omega$ являются константами. Для $\Omega =0$ уравнение становится уравнением Ламе с $\Lambda =A$ . Для $\Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}$ уравнение сводится к уравнению Матье

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+(\lambda -2h^{2}\cos 2z)y=0.

Вейерштрассова форма уравнения Ламе совершенно непригодна для вычислений (как отмечает также Арскотт, стр. 191). Наиболее подходящей формой уравнения является форма Якобиана, как указано выше. Алгебраические и тригонометрические формы также громоздки в использовании. Уравнения Ламе возникают в квантовой механике как уравнения малых флуктуаций относительно классических решений — называемых периодическими инстантонами , отскоками или пузырьками — уравнений Шрёдингера для различных периодических и ангармонических потенциалов. ^[1]^[2]

Асимптотические разложения

Асимптотические разложения периодических эллипсоидальных волновых функций, а вместе с тем и функций Ламе, для больших значений $\kappa$ были получены Мюллером. ^[3]^[4]^[5]Полученное им асимптотическое разложение для собственных значений $\Lambda$ есть, с $q$ примерно нечетное целое число (более точно определяется граничными условиями – см. ниже),

{\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\[6pt]&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9)\\[6pt]&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Big \}}-\cdots ,\end{aligned}}

(еще один (пятый) член, не приведенный здесь, был вычислен Мюллером, первые три члена также были получены Инсом ^[6]). Наблюдаемые члены поочередно четны и нечетны в $q$ и $\kappa$ (как и в соответствующих расчетах для функций Матье , сплюснутых сфероидальных волновых функций и вытянутых сфероидальных волновых функций ). При следующих граничных условиях (при которых $K(k)$ — четверть периода, заданный полным эллиптическим интегралом)

\operatorname {Ec} (2K)=\operatorname {Ec} (0)=0,\;\;\operatorname {Es} (2K)=\operatorname {Es} (0)=0,

а также ( первичное производное значения)

(\operatorname {Ec} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{'}=0,\;\;(\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,

определяющие соответственно эллипсоидальные волновые функции

\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}}

периодов $4K,2K,2K,4K,$ и для $q_{0}=1,3,5,\ldots$ получается

q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}\left[1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2})}{2^{5}\kappa }}+\cdots \right].

Здесь верхний знак относится к решениям $\operatorname {Ec}$ и ниже к решениям $\operatorname {Es}$ . Наконец расширяемся $\Lambda (q)$ о $q_{0},$ получается

{\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}{\Big [}1-{\frac {1}{2^{5}\kappa }}(1+k^{2})(3q_{0}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{aligned}}

В пределе уравнения Матье (к которому можно свести уравнение Ламе) эти выражения сводятся к соответствующим выражениям случая Матье (как показал Мюллер).

Примечания

^ HJW Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории , 2-е изд. Всемирный научный, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5
^ Лян, Цзю-Цин; Мюллер-Кирстен, HJW; Чракян, Д.Х. (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны на окружности». Буквы по физике Б. 282 (1–2). Эльзевир Б.В.: 105–110. дои : 10.1016/0370-2693(92)90486-н . ISSN 0370-2693 .
^ В. Мюллер, Харальд Дж. (1966). «Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций и их характеристические числа». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 31 (1–2). Уайли: 89–101. дои : 10.1002/mana.19660310108 . ISSN 0025-584X .
^ Мюллер, Харальд Дж.В. (1966). «Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций через функции Эрмита». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 32 (1–2). Уайли: 49–62. дои : 10.1002/mana.19660320106 . ISSN 0025-584X .
^ Мюллер, Харальд Дж.В. (1966). «Об асимптотических разложениях эллипсоидальных волновых функций». Математические новости (на немецком языке). 32 (3-4). Уайли: 157–172. дои : 10.1002/mana.19660320305 . ISSN 0025-584X .
^ Инс, Э.Л. (1940). «VII — Дальнейшие исследования периодических функций Ламе». Труды Королевского общества Эдинбурга . 60 (1). Издательство Кембриджского университета (CUP): 83–99. дои : 10.1017/s0370164600020071 . ISSN 0370-1646 .

Ссылки

Арскотт, Ф.М. (1964), Периодические дифференциальные уравнения , Оксфорд: Pergamon Press , стр. 191–236 .
Эрдели, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF) , Проект рукописи Бейтмана, том. III, Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw-Hill , стр. XVII + 292, MR 0066496 , Zbl 0064.06302 .
Ламе, Г. (1837), «Об изотермических поверхностях однородных тел, находящихся в температурном равновесии» , Журнал чистой и прикладной математики , 2 : 147–188 . Доступно в Галлике .
Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Ламе» , Энциклопедия математики , EMS Press
Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Функция Ламе» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Волкмер, Х. (2010), «Функция Ламе» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012), Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд. , Всемирный научный

[1] HJW Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории , 2-е изд. Всемирный научный, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5

[2] Лян, Цзю-Цин; Мюллер-Кирстен, HJW; Чракян, Д.Х. (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны на окружности». Буквы по физике Б. 282 (1–2). Эльзевир Б.В.: 105–110. дои : 10.1016/0370-2693(92)90486-н . ISSN 0370-2693 .

[3] В. Мюллер, Харальд Дж. (1966). «Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций и их характеристические числа». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 31 (1–2). Уайли: 89–101. дои : 10.1002/mana.19660310108 . ISSN 0025-584X .

[4] Мюллер, Харальд Дж.В. (1966). «Асимптотические разложения эллипсоидальных волновых функций через функции Эрмита». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 32 (1–2). Уайли: 49–62. дои : 10.1002/mana.19660320106 . ISSN 0025-584X .

[5] Мюллер, Харальд Дж.В. (1966). «Об асимптотических разложениях эллипсоидальных волновых функций». Математические новости (на немецком языке). 32 (3-4). Уайли: 157–172. дои : 10.1002/mana.19660320305 . ISSN 0025-584X .

[6] Инс, Э.Л. (1940). «VII — Дальнейшие исследования периодических функций Ламе». Труды Королевского общества Эдинбурга . 60 (1). Издательство Кембриджского университета (CUP): 83–99. дои : 10.1017/s0370164600020071 . ISSN 0370-1646 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]