Компактная полугруппа
В математике компактная полугруппа — это полугруппа , в которой множества решений уравнений могут быть описаны конечными наборами уравнений. Термин «компакт» здесь не относится к какой-либо топологии полугруппы.
Пусть S — полугруппа, а X — конечное множество букв. Система уравнений — это подмножество E декартова произведения X ∗ × Х ∗ свободного моноида (конечных струн) над X с самим собой. Система E выполнима в S, если существует отображение f из X в S , которое продолжается до морфизма полугруппы f из X + к S , так что для всех ( u , v ) в E мы имеем f ( u ) = f ( v ) в S . Такое f является решением или задания для системы E. выполнением [1]
Две системы уравнений эквивалентны , если они имеют одинаковый набор удовлетворяющих заданий. Система уравнений является независимой , если она не эквивалентна собственному подмножеству. [1] Полугруппа компактна , если каждая независимая система уравнений конечна. [2]
Примеры [ править ]
- Свободный моноид на конечном алфавите компактен. [3]
- Свободный моноид счетного алфавита компактен. [4]
- Конечно порожденная свободная группа компактна. [5]
- Моноид следа на конечном множестве образующих компактен. [4]
- Бициклический моноид не компактен. [6]
Свойства [ править ]
- Класс компактных полугрупп замкнут относительно взятия подполугрупп и конечных прямых произведений. [7]
- Класс компактных полугрупп не замкнут относительно морфических образов или бесконечных прямых произведений. [7]
Разновидности [ править ]
Класс компактных полугрупп не образует эквационального многообразия . Однако разновидность моноидов обладает тем свойством, что все ее члены компактны тогда и только тогда, когда все конечно порожденные члены удовлетворяют условию максимальности для сравнений (любое семейство сравнений, упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент). [8]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лотарь (2011), с. 444
- ^ Лотарь (2011) с. 458
- ^ Лотарь (2011) с. 447
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лотарь (2011), с. 461
- ^ Лотарь (2011) с. 462
- ^ Лотарь (2011) с. 459
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лотарь (2011), с. 460
- ^ Лотарь (2011) с. 466
- Лотер, М. (2011). Алгебраическая комбинаторика на словах . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 90. С предисловием Жана Берстеля и Доминика Перрена (перепечатка издания 2002 г. в твердом переплете). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-18071-9 . Артикул 1221.68183 .