Неравенство Бора – Фавара

Неравенство Бора – Фавара - это неравенство, возникающее в задаче Харальда Бора. об ограниченности по всей вещественной оси интеграла почти периодической функции. Окончательную форму этого неравенства дал Жан Фавар ; последний существенно дополнил исследования Бора и изучил произвольную периодическую функцию

$f(x)=\ \sum _{k=n}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)$

с непрерывной производной $f^{(r)}(x)$ для заданных констант $r$ и $n$ которые являются натуральными числами. Принятая форма неравенства Бора – Фавара:

$\|f\|_{C}\leq K\|f^{(r)}\|_{C},$

$\|f\|_{C}=\max _{x\in [0,2\pi ]}|f(x)|,$

с лучшей константой $K=K(n,r)$:

$K=\sup _{\|f^{(r)}\|_{C}\leq 1}\ \|f\|_{C}.$

Неравенство Бора–Фавара тесно связано с неравенством наилучших приближений функции и ее $r$^й производная тригонометрическими полиномами порядка не выше $n$ и с понятием колмогоровской поперечности в классе дифференцируемых функций (ср. Ширина ).

Ссылки

В эту статью включен текст из бесплатного контента . Лицензия CC BY-SA и GFDL . Текст взят из неравенства Бора-Фавара , см. историю изменений для авторов, Энциклопедия математики .