Вогнутость

В математике вогнутость — это процесс преобразования невогнутой функции в вогнутую . Связанное с этим понятие — овыпукление — преобразование невыпуклой функции в выпуклую . Это особенно важно в экономике и математической оптимизации . ^[1]

Вогнутость квазивогнутой функции монотонным преобразованием

Важным частным случаем вогнутости является ситуация, когда исходная функция является квазивогнутой . Известно, что:

Любая вогнутая функция является квазивогнутой, но обратное неверно.
Каждое монотонное преобразование квазивогнутой функции также является квазивогнутым. Например, если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является квазивогнутым и $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — монотонно возрастающая функция, то $x\mapsto g(f(x))$ также квазивогнутая.

Поэтому возникает естественный вопрос: если задана квазивогнутая функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , существует ли монотонно возрастающая $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такой, что $x\mapsto g(f(x))$ вогнутый?

Пример и встречный пример

В качестве примера рассмотрим функцию $x\mapsto f(x)=x^{2}$ в домене $x\geq 0$ . Эта функция квазивогнутая, но не вогнутая (фактически строго выпуклая). Его можно вогнуть, например, с помощью монотонного преобразования $t\mapsto g(t)=t^{1/4}$ , с $x\mapsto g(f(x))={\sqrt {x}}$ является вогнутым.

Не каждую вогнутую функцию можно вогнуть таким образом. Противоположный пример был показан Фенчелом. ^[2] Его пример: $(x,y)\mapsto f(x,y):=y+{\sqrt {x+y^{2}}}$ . Фенхель доказал, что эта функция квазивогнутая, но монотонного преобразования не существует. $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ такой, что $(x,y)\mapsto g(f(x,y))$ является вогнутым. ^[3]^: 7–9

На основе этих примеров мы определяем функцию как вогнутую, если существует монотонное преобразование, которое делает ее вогнутой. Теперь возникает вопрос: какие квазивогнутые функции являются вогнутыми?

вогнутость

Якар Каннаи подробно рассматривает этот вопрос в контексте функций полезности , давая достаточные условия, при которых непрерывные выпуклые предпочтения могут быть представлены вогнутыми функциями полезности. ^[4]

Его результаты позже были обобщены Коннеллом и Расмуссеном. ^[3] которые дают необходимые и достаточные условия вокавифицируемости. Они показывают, что функция $(x,y)\mapsto f(x,y)=e^{e^{x}}\cdot y$ нарушает их условия и, следовательно, не является свертываемым. Они доказывают, что эта функция строго квазивогнутая, ее градиент не равен нулю, но не вогнута.

Ссылки

^ Ли, Д.; Солнце, XL; Бисвал, член парламента; Гао, Ф. (1 июля 2001 г.). «Выпуклость, вогнутость и монотонизация в глобальной оптимизации». Анналы исследования операций . 105 (1–4): 213–226. дои : 10.1023/А:1013313901854 . ISSN 0254-5330 . S2CID 7570136 .
^ Фенчел (1953). Выпуклые конусы, множества и функции . Принстонский университет.
^ Jump up to: ^а ^б Коннелл, Кристофер; Расмусен, Эрик Беннетт (декабрь 2017 г.). «Вогнутость квазивогнутости». Журнал выпуклого анализа . 24 (4): 1239–1262.
^ Каннаи, Якар (1 марта 1977 г.). «Вогнутость и конструкции вогнутых функций полезности». Журнал математической экономики . 4 (1): 1–56. дои : 10.1016/0304-4068(77)90015-5 . ISSN 0304-4068 .

[1] Ли, Д.; Солнце, XL; Бисвал, член парламента; Гао, Ф. (1 июля 2001 г.). «Выпуклость, вогнутость и монотонизация в глобальной оптимизации». Анналы исследования операций . 105 (1–4): 213–226. дои : 10.1023/А:1013313901854 . ISSN 0254-5330 . S2CID 7570136 .

[2] Фенчел (1953). Выпуклые конусы, множества и функции . Принстонский университет.

[Connell_2012-3] Jump up to: ^а ^б Коннелл, Кристофер; Расмусен, Эрик Беннетт (декабрь 2017 г.). «Вогнутость квазивогнутости». Журнал выпуклого анализа . 24 (4): 1239–1262.

[4] Каннаи, Якар (1 марта 1977 г.). «Вогнутость и конструкции вогнутых функций полезности». Журнал математической экономики . 4 (1): 1–56. дои : 10.1016/0304-4068(77)90015-5 . ISSN 0304-4068 .

[1]

[2]

[3]

[4]