Последовательность жонглера

Не путать с паттерном жонглирования .

В теории чисел последовательность жонглера — это целочисленная последовательность , которая начинается с положительного целого числа a ₀ , причем каждый последующий член последовательности определяется рекуррентным соотношением : $$a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k}{\text{ is odd}}.\end{cases}}$$

Фон

Последовательности жонглера были опубликованы американским математиком и писателем Клиффордом А. Пиковером . Название происходит от характера восходящих и нисходящих последовательностей, похожих на мячи в руках жонглера .

Например, последовательность жонглера, начинающаяся с 0 _: = 3, выглядит так

$a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,$

$a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,$

$a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,$

$a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,$

$a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,$

$a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.$

Если последовательность жонглера достигает 1, то все последующие члены равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглера в конечном итоге достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных членов до 10. ⁶ , но не доказано. Таким образом, последовательности жонглера представляют собой проблему, аналогичную гипотезе Коллатца , по поводу которой Пол Эрдеш заявил, что «математика еще не готова к таким проблемам».

Для заданного начального термина n определяется l ( n ) как количество шагов, которое проходит последовательность жонглеров, начинающаяся с n , чтобы сначала достичь 1, а h ( n ) — максимальное значение в последовательности жонглеров, начинающейся с n . Для малых значений n имеем:

н	Последовательность жонглера	л ( н ) (последовательность A007320 в OEIS )	час ( п ) (последовательность A094716 в OEIS )
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Последовательности жонглера могут достигать очень больших значений, прежде чем спуститься к 1. Например, последовательность жонглера, начинающаяся с 0 _{= 37 ,} достигает максимального значения 24906114455136. Гарри Дж. Смит определил, что последовательность жонглера, начинающаяся с 0 _{= 48443 ,} достигает максимума. значение 60 ₄₆₃ цифрами, прежде чем достичь 1 при 157 _{с 972} .

См. также

• Арифметическая динамика
• Гипотеза Коллатца
• Рекуррентное отношение

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность жонглера» . Математический мир .
• Последовательность жонглера (A094683) в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей . См. также:
  • Количество шагов, необходимых для последовательности жонглера (A094683), начинающейся с n, и достигающей 1.
  • n устанавливает новый рекорд по количеству итераций, достигающих 1 в задаче о последовательности жонглера.
  • Количество шагов, на которых последовательность Жонглера достигает нового рекорда.
  • Наименьшее число, которое требует n итераций для достижения 1 в задаче о последовательности жонглера.
  • Начальные значения, которые дают большее количество жонглеров, чем меньшие начальные значения.
• Калькулятор последовательности жонглера в Центре расчета гипотез Коллатца
• Страницы чисел жонглера Гарри Дж. Смита