Вальд-Вольфовиц проводит тест

Тест Уолда-Вольфовица (или просто тест запуска ), названный в честь статистиков Авраама Уолда и Джейкоба Вулфовица, представляет собой непараметрический статистический тест, который проверяет гипотезу случайности для двузначной последовательности данных . Точнее, его можно использовать для проверки гипотезы элементов последовательности о взаимной независимости .

Определение

Серия последовательности — это максимальный непустой сегмент последовательности, состоящий из соседних одинаковых элементов. Например, последовательность из 22 элементов

+ + + + − − − + + + − − + + + + + + − − − −

состоит из 6 прогонов длиной 4, 3, 3, 2, 6 и 4. Тест прогона основан на нулевой гипотезе о том, что каждый элемент последовательности независимо извлекается из одного и того же распределения.

Согласно нулевой гипотезе, количество повторов в последовательности из N элементов — случайная величина которой , условное распределение при наблюдении N ₊ положительных значений и N ₋ отрицательные значения ( N = N ₊ + N ₋ ) примерно нормальны, при этом:

${\begin{aligned}{\text{mean: }}&\mu ={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}}{N}}+1,\\[6pt]{\text{variance: }}&\sigma ^{2}={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}\ (2\ N_{+}\ N_{-}-N)}{N^{2}\ (N-1)}}={\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}}.\end{aligned}}$

Аналогично, количество запусков равно $R={\frac {1}{2}}(N_{+}+N_{-}+1-\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1})$.

Эти параметры не предполагают, что положительные и отрицательные элементы имеют равные вероятности появления, а лишь предполагают, что элементы независимы и одинаково распределены . Если количество прогонов существенно больше или меньше ожидаемого, гипотеза статистической независимости элементов может быть отвергнута.

Доказательства

Моменты

Количество запусков $R={\frac {1}{2}}(N_{+}+N_{-}+1-\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1})$. Благодаря независимости ожидание $$E[R]={\frac {1}{2}}(N+1-(N-1)E[x_{1}x_{2}])$$Выписывая все возможности, находим $$x_{1}x_{2}={\begin{cases}+1\quad &{\text{ with probability }}{\frac {N_{+}(N_{+}-1)+N_{-}(N_{-}-1)}{N(N-1)}}\\-1\quad &{\text{ with probability }}{\frac {2N_{+}N_{-}}{N(N-1)}}\\\end{cases}}$$Таким образом, $E[x_{1}x_{2}]={\frac {(N_{+}-N_{-})^{2}-N}{N(N-1)}}$. Теперь упростим выражение, чтобы получить $E[R]={\frac {2\ N_{+}\ N_{-}}{N}}+1$.

Аналогично, дисперсия количества прогонов равна $$Var[R]={\frac {1}{4}}Var[\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1}]={\frac {1}{4}}((N-1)E[x_{1}x_{2}x_{1}x_{2}]+2(N-2)E[x_{1}x_{2}x_{2}x_{3}]+(N-2)(N-3)E[x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}]-(N-1)^{2}E[x_{1}x_{2}]^{2})$$и упростив, получим дисперсию.

Аналогично мы можем вычислить все моменты $R$, но алгебра становится всё уродливее и уродливее.

Асимптотическая нормальность

Теорема. Если мы будем выбирать все более и более длинные последовательности, с $\lim N_{+}/N=p$ для некоторых фиксированных $p\in (0,1)$, затем ${\frac {R-\mu }{\sigma }}\sim {\sqrt {N}}(R/\mu -1)$ сходится по распределению к нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией 1.

Эскиз доказательства. Достаточно доказать асимптотическую нормальность последовательности $\sum _{i=1}^{N-1}x_{i}x_{i+1}$, что можно доказать с помощью центральной предельной теоремы мартингала .

Приложения

Тесты Runs можно использовать для проверки:

1. случайность распределения, беря данные в заданном порядке и отмечая + данные, превышающие медиану , и - данные, меньшие медианы (числа, равные медиане, опускаются).
2. хорошо ли функция вписывается в набор данных , отмечая данные, превышающие значение функции, знаком +, а другие данные знаком –. Для этого использования тест пробегов, который учитывает знаки, но не расстояния, дополняет тест хи-квадрат , который учитывает расстояния, но не знаки.

Связанные тесты

местоположением . Было показано, что критерий Колмогорова-Смирнова более эффективен, чем критерий Вальда-Вольфовица, для обнаружения различий между распределениями, которые различаются исключительно своим Однако обратное верно, если распределения различаются по дисперсии и имеют лишь небольшую разницу в местоположении.

Тест Вальда-Вольфовица был расширен для использования с несколькими образцами .

Внешние ссылки

• NCSS-анализ прогонов