Карта землетрясений

В гиперболической геометрии карта землетрясений — это метод замены одного гиперболического многообразия на другое, предложенный Уильямом Терстоном ( 1986 ).

Карты землетрясений

Имея простую замкнутую геодезическую на ориентированной гиперболической поверхности и вещественное число t , можно разрезать многообразие вдоль геодезической, сдвинуть края на расстояние t влево и склеить их обратно. Это дает новую гиперболическую поверхность, а карта (возможно, прерывистая) между ними является примером левого землетрясения.

В более общем смысле, ту же конструкцию можно проделать с конечным числом непересекающихся простых геодезических, к каждой из которых прикреплено действительное число. Результат называется простым землетрясением.

Землетрясение — это, грубо говоря, своего рода предел простых землетрясений, когда имеется бесконечное число геодезических, и вместо того, чтобы приписывать к каждой геодезической положительное действительное число, к ним прилагается мера.

Геодезическая расслоение гиперболической поверхности — это замкнутое подмножество со слоением на геодезические. Левое землетрясение E представляет собой карту между копиями гиперболической плоскости с геодезическими расслоениями, то есть изометрию каждого слоя слоения на слой. Более того, если A и B — две страты, то E ⁻¹
_И Э
_B — гиперболическое преобразование, ось которого разделяет A и B и которая перемещается влево, где — _{изометрия} всей плоскости, которая ограничивается E на A , и то же самое для B. EA

Теорема о землетрясении

Теорема Терстона о землетрясении утверждает, что для любых двух точек x , y пространства Тейхмюллера существует единственное левое землетрясение от x до y . Это было доказано Уильямом Терстоном на курсе в Принстоне в 1976–1977 годах, но в то время он не опубликовал его, а первое опубликованное утверждение и доказательство было дано Керкхоффом (1983) , который использовал его для решения проблемы реализации Нильсена. .

Ссылки

Керкхофф, Стивен П. (1983), «Проблема реализации Нильсена», Annals of Mathematics , Second Series, 117 (2): 235–265, CiteSeerX 10.1.1.353.3593 , doi : 10.2307/2007076 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2007076 , МР 0690845
Работа Терстона о поверхностях , Asterisk, vol. 66, Париж: Société Mathématique de France , 1979, ISBN. 978-99920-1-230-7 , МР 0568308
Терстон, Уильям П. (1986), «Землетрясения в двумерной гиперболической геометрии», в DBA Эпштейне (редактор), Низкомерная топология и клейновы группы , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33905-6