Итеративный импеданс

Итеративный импеданс — это входное сопротивление бесконечной цепочки идентичных сетей. Оно связано с импедансом изображения , используемым при проектировании фильтров , но имеет более простое и понятное определение.

Определение

Итеративный импеданс — это входное сопротивление одного порта двухпортовой сети , когда другой порт подключен к бесконечной цепочке идентичных сетей. ^[1] Аналогично, итеративный импеданс — это импеданс, который при подключении к порту 2 двухпортовой сети равен импедансу, измеренному на порту 1. Это эквивалентно, если рассматривать бесконечную цепочку идентичных сетей, подключенных к порту 2 в первое определение. Если исходная сеть удалена, то порт 1 второй сети будет иметь тот же итеративный импеданс, что и раньше, поскольку к порту 2 второй сети все еще подключена бесконечная цепочка сетей. Таким образом, всю бесконечную цепочку можно заменить одним сосредоточенным импедансом, равным итерационному импедансу, что является условием второго определения. ^[2]

В общем, итеративный импеданс порта 1 не равен итеративному импедансу порта 2. Они будут равны, если сеть симметрична, однако физическая симметрия не является необходимым условием равенства импедансов. ^[3]

Примеры

простая общая L-цепь На схеме показана состоящая из последовательного импеданса Z и параллельного сопротивления Y. , Итеративный импеданс этой сети Z _IT с точки зрения ее выходной нагрузки (также Z _IT ) определяется выражением: ^[4]^[5]^[6]^[7]

Z_{\mathrm {IT} }=Z+Y\parallel Z_{\mathrm {IT} }

и решение для Z _IT ,

Z_{\mathrm {IT} }={Z \over 2}\pm {\sqrt {{Z^{2} \over 4}+{Z \over Y}}}

Другим примером является L-цепь с перевернутыми компонентами, то есть с шунтирующим сопротивлением на первом месте. Анализ этой схемы можно сразу же найти, рассмотрев двойственность предыдущего примера. Итеративный адмиттанс Y _IT этой схемы определяется выражением:

Y_{\mathrm {IT} }={Y \over 2}\pm {\sqrt {{Y^{2} \over 4}+{Y \over Z}}}

где,

Y_{\mathrm {IT} }={1 \over Z_{\mathrm {IT} }}

Квадратный корень в этих выражениях приводит к тому, что они имеют два решения. Однако физически значимыми являются только решения с положительной активной частью, поскольку пассивные цепи не могут иметь отрицательное сопротивление . Обычно это положительный корень. ^[8]

Связь с импедансом изображения

Итеративный импеданс аналогичен импедансу изображения . В то время как итеративный импеданс формируется путем подключения порта 2 первой двухпортовой сети к порту 1 следующей, импеданс изображения формируется путем подключения порта 2 первой сети к порту 2 следующей. Порт 1 второй сети соединяется с портом 1 третьей и так далее, при этом каждая последующая сеть меняется местами так, чтобы одинаковые порты всегда были обращены друг к другу.

Поэтому неудивительно, что существует связь между итеративными импедансами и импедансами изображения. В примере L-цепи для итеративного импеданса член с квадратным корнем равен импедансу изображения половины секции. То есть L-схема, в которой значения компонентов уменьшены вдвое. Обозначив сопротивление изображения полусекции как Z _IM, мы имеем для L-цепи: ^[9]

Z_{\mathrm {IT} }={Z \over 2}+Z_{\mathrm {IM} }

На диаграммах показан такой результат: бесконечная цепочка Г-образных участков идентична бесконечной цепочке попеременно перевернутых полусекций, за исключением значения импеданса исходной серии.

Для симметричной сети итеративный импеданс и импеданс изображения идентичны и одинаковы на обоих портах. сети Это сопротивление иногда называют характеристическим сопротивлением — термин, обычно используемый для линий передачи . ^[10] Модель линии электропередачи представляет собой бесконечную цепочку L-образных участков с бесконечно малыми компонентами. Таким образом, характеристический импеданс линии передачи представляет собой предельный случай итеративного импеданса лестничной сети . ^[11]^[5]^[6]^[12]

Ссылки

^ Айер, с. 340
^ Бакши и Бакши, стр. 9.4-9.5.
^ Птица, с. 594
^ Уолтон, с. 209
^ Jump up to: ^а ^б Ли, Томас Х. (2004). «2.5. Импеданс движущей точки итерированной структуры». Планарная микроволновая техника: практическое руководство по теории, измерениям и схемам . Издательство Кембриджского университета. п. 44.
^ Jump up to: ^а ^б Никнеджад, Али М. (2007). «Раздел 9.2. Бесконечная лестничная сеть». . Электромагнетизм для высокоскоростных аналоговых и цифровых цепей связи .
^ Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью . «Раздел 22-6. Лестничная сеть» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. .
^ Уолтон, стр. 209-210.
^ Бакши и Бакши, стр. 9.55–9.56.
^
- Берд, стр. 594–595.
- Айер, с. 345
^ Монтгомери и др. , стр. 112-113
^ Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью . «Раздел 22-7. Фильтр» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Если представить линию разбитой на небольшие отрезки Δℓ, каждый отрезок будет выглядеть как один участок LC-лестницы с последовательными индуктивностью ΔL и шунтирующей емкостью ΔC. Затем мы можем использовать наши результаты для лестничного фильтра. Если мы возьмем предел, когда Δℓ стремится к нулю, мы получим хорошее описание линии передачи. Обратите внимание, что по мере того, как Δℓ становится все меньше и меньше, ΔL и ΔC уменьшаются, но в одинаковой пропорции, так что отношение ΔL/ΔC остается постоянным. Итак, если мы возьмем предел уравнения. (22.28) Когда ΔL и ΔC стремятся к нулю, мы обнаруживаем, что характеристический импеданс z0 представляет собой чистое сопротивление, величина которого равна √(ΔL/ΔC). Мы также можем записать отношение ΔL/ΔC как L0/C0, где L0 и C0 – индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда у нас есть ${\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}$ .

Библиография

Bakshi, U. A.; Bakshi, A. V., Electric Circuits ,
Берд, Джон, Теория и технология электрических цепей , Routledge, 2013 г. ISBN 1134678398 .
Айер, TSK V, Теория цепей , Tata McGraw-Hill Education, 1 985 ISBN 0074516817 .
Монтгомери, Кэрол Грей; Дике, Роберт Генри; Перселл, Эдвард М., Принципы работы микроволновых цепей , IEE, 1948 г. ISBN 0863411002 .
Уолтон, Алан Кейт, сетевой анализ и практика , издательство Кембриджского университета, 1987 г. ISBN 052131903X .
Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Сэндс, Мэтью, Фейнмановские лекции по физике, Vol. II , Глава 22. Цепи переменного тока, Раздел 6. Лестничная сеть , Калифорнийский технологический институт – HTML-версия.

[1] Айер, с. 340

[2] Бакши и Бакши, стр. 9.4-9.5.

[3] Птица, с. 594

[4] Уолтон, с. 209

[lee2004-5] Jump up to: ^а ^б Ли, Томас Х. (2004). «2.5. Импеданс движущей точки итерированной структуры». Планарная микроволновая техника: практическое руководство по теории, измерениям и схемам . Издательство Кембриджского университета. п. 44.

[niknejad2007-6] Jump up to: ^а ^б Никнеджад, Али М. (2007). «Раздел 9.2. Бесконечная лестничная сеть». . Электромагнетизм для высокоскоростных аналоговых и цифровых цепей связи .

[7] Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью . «Раздел 22-6. Лестничная сеть» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. .

[8] Уолтон, стр. 209-210.

[9] Бакши и Бакши, стр. 9.55–9.56.

[10] 
Берд, стр. 594–595.
Айер, с. 345

[11] Берд, стр. 594–595.

[12] Айер, с. 345

[11] Монтгомери и др. , стр. 112-113

[12] Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью . «Раздел 22-7. Фильтр» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Если представить линию разбитой на небольшие отрезки Δℓ, каждый отрезок будет выглядеть как один участок LC-лестницы с последовательными индуктивностью ΔL и шунтирующей емкостью ΔC. Затем мы можем использовать наши результаты для лестничного фильтра. Если мы возьмем предел, когда Δℓ стремится к нулю, мы получим хорошее описание линии передачи. Обратите внимание, что по мере того, как Δℓ становится все меньше и меньше, ΔL и ΔC уменьшаются, но в одинаковой пропорции, так что отношение ΔL/ΔC остается постоянным. Итак, если мы возьмем предел уравнения. (22.28) Когда ΔL и ΔC стремятся к нулю, мы обнаруживаем, что характеристический импеданс z0 представляет собой чистое сопротивление, величина которого равна √(ΔL/ΔC). Мы также можем записать отношение ΔL/ΔC как L0/C0, где L0 и C0 – индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда у нас есть ${\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]