Представление с точностью до гомотопии

Представление с точностью до гомотопии имеет несколько значений. Один из первых появился в физике в гамильтоновых системах со связями . Основная идея состоит в том, чтобы поднять непредставление в факторе до представления с точностью до сильной гомотопии по разрешению фактора.Как концепция дифференциальной геометрии , она обобщает понятие представления алгебры Ли на алгеброиды Ли и нетривиальные векторные расслоения . В таком виде оно было введено Абадом и Крайником .

В качестве мотивации рассмотрим регулярный алгеброид Ли ( A , ρ ,[.,.]) (обычный означает, что якорь ρ имеет постоянный ранг), где мы имеем две естественные A - связности на g ( A ) = ker ρ и ν ( A )= TM /im ρ соответственно:

$\nabla \colon \Gamma (A)\times \Gamma ({\mathfrak {g}}(A))\to \Gamma ({\mathfrak {g}}(A)):\nabla _{\!\phi \,}\psi :=[\phi ,\psi ],$

$\nabla \colon \Gamma (A)\times \Gamma (\nu (A))\to \Gamma (\nu (A)):\nabla _{\!\phi \,}{\overline {X}}:={\overline {[\rho (\phi ),X]}}.$

В теории деформации алгеброида Ли А существует длинная точная последовательность

$\dots \to H^{n}(A,{\mathfrak {g}}(A))\to H_{def}^{n}(A)\to H^{n-1}(A,\nu (A))\to H^{n-1}(A,{\mathfrak {g}}(A))\to \dots$

Это предполагает, что правильные когомологии для деформаций (здесь обозначаемые как H _def ) возникают из прямой суммы двух модулей g ( A ) и ν ( A ) и должны называться присоединенным представлением . Однако заметим, что в более общем случае, когда ρ не имеет постоянного ранга, мы не можем легко определить представления g ( A ) и ν ( A ). Вместо этого нам следует рассмотреть двучленный комплекс A → TM и представление на нем. Это приводит к понятию, объясненному здесь.

Определение

Пусть ( A , ρ ,[.,.]) — алгеброид Ли над гладким многообразием M и пусть Ω( A ) обозначает его алгеброидный комплекс Ли. Пусть, далее, E — ℤ-градуированное векторное расслоение над M и Ω( A , E ) = Ω( A ) ⊗ Γ( E ) — его ℤ-градуированные A -коцепи со значениями в E . Представление A на E с точностью до гомотопии — это дифференциальный оператор D , отображающий

$D\colon \Omega ^{\bullet }(A,E)\to \Omega ^{\bullet +1}(A,E),$

выполняет правило Лейбница

$D(\alpha \wedge \beta )=(D\alpha )\wedge \beta +(-1)^{|\alpha |}\alpha \wedge (D\beta ),$

и квадраты к нулю, т.е. D ²  = 0.

Гомотопические операторы

Представление с точностью до гомотопии, введенное выше, эквивалентно следующим данным

• оператор ∂ степени 1: E → E , который приводит в квадрат 0,
• A E -связность ∇ на как совместима $\nabla \circ \partial =\partial \circ \nabla$,
• End( E )-значная A -2-форма ω ₂ полной степени 1, такая, что кривизна удовлетворяет условиям $\partial \omega _{2}+R_{\nabla }=0,$
• End( E )-значные A - p -формы ω _p полной степени 1, удовлетворяющие гомотопическим соотношениям....

Переписка характеризуется как

$D=\partial +\nabla +\omega _{2}+\omega _{3}+\cdots .\,$

Гомоморфизмы

Гомоморфизм между представлениями с точностью до гомотопии ( E , DE ₎ и ( F , D _F ) одного и того же алгеброида Ли A ) степени 0 — это отображение Φ: Ω( A , E ) → Ω( A , F , которое коммутирует с дифференциалы, т.е.

$D_{F}\circ \Phi =\Phi \circ D_{E}.\,$

Изоморфизм теперь является обратимым гомоморфизмом.Обозначим Rep ^∞ категория классов эквивалентности представлений с точностью до гомотопии вместе с классами эквивалентности гомоморфизмов.

В смысле приведенного выше разложения D на коцепное отображение ∂, связность ∇ и высшие гомотопии, мы также можем разложить Φ как Φ ₀ + Φ ₁ + ... с

$\Phi _{i}\in \Omega ^{i}(A,\mathrm {Hom} ^{-i}(E,F))$

и тогда условие совместимости читается

$\partial \Phi _{n}+d_{\nabla }(\Phi _{n-1})+[\omega _{2},\Phi _{n-2}]+\cdots +[\omega _{n},\Phi _{0}]=0.$

Примеры

Примерами являются обычные представления алгеброидов Ли или, более конкретно, алгебр Ли, т.е. модулей.

Другой пример дается p -формой ω _p вместе с E = M × ℝ[0] ⊕ ℝ[ p ] и оператором D = ∇ + ω _p , где ∇ — плоская связность на тривиальном расслоении M × ℝ.

Учитывая представление с точностью до гомотопии D = ∂ + ∇ + ω ₂ + ..., мы можем построить новое представление с точностью до гомотопии путем сопряжения, т.е.

D' = ∂ − ∇ + ω ₂ − ω ₃ + −....

Присоединенное представление

Учитывая алгеброид Ли ( A , ρ ,[.,.]) вместе со связностью ∇ на его векторном расслоении, мы можем определить две ассоциированные A -связности следующим образом:

$\nabla _{\!\phi \,}^{bas}\psi :=[\phi ,\psi ]+\nabla _{\!\rho (\psi )\,}\phi ,$

$\nabla _{\!\phi \,}^{bas}X:=[\rho (\phi ),X]+\rho (\nabla _{\!X\,}\phi ).$

Более того, мы можем ввести смешанную кривизну как

$R^{bas}(\phi ,\psi )(X):=\nabla _{\!X\,}[\phi ,\psi ]-[\nabla _{\!X\,}\phi ,\psi ]-[\phi ,\nabla _{\!X\,}\psi ]-\nabla _{\!\nabla _{\!\psi \,}^{bas}X\,}\phi +\nabla _{\!\nabla _{\!\psi \,}^{bas}X\,}\phi .$

Эта кривизна измеряет совместимость скобки Ли со связностью и является одним из двух условий, при которых A вместе с TM образуют согласованную пару алгеброидов Ли.

Первое наблюдение состоит в том, что этот член, украшенный картой привязки ρ , соответственно, выражает кривизну обеих связей ∇ ^вниз . Во-вторых, мы можем сопоставить все три ингредиента с представлением с точностью до гомотопии следующим образом:

$D=\rho +\nabla ^{bas}+R^{bas}.$

Другое наблюдение состоит в том, что полученное представление с точностью до гомотопии не зависит от выбранного соединения ∇, в основном потому, что разница между двумя A -связями представляет собой ( A − 1 -форму со значениями в End( E ).