Модель прибыли

Модель прибыли — это линейная детерминированная алгебраическая модель, неявно используемая большинством специалистов по учету затрат . Начиная с того, что прибыль равна продажам за вычетом затрат, она обеспечивает структуру для моделирования элементов затрат, таких как материалы, потери, несколько продуктов, обучение, амортизация и т. д. Она обеспечивает изменяемую концептуальную основу для разработчиков электронных таблиц. Это позволяет им запускать детерминированное моделирование или моделирование « что если », чтобы увидеть влияние изменений цены, затрат или количества на прибыльность.

Базовая модель

$\pi =pq-(F_{n}+wq)\,$

где:

π — прибыль

p - цена продажи

F _n — постоянные затраты

w — переменные затраты на единицу проданной продукции.

q — проданное количество

Расширение модели см. ниже.

Фон

Обоснование желания выразить прибыль в виде алгебраической модели было дано Маттессичем в 1961 году:

«Некоторым аналитикам операций простой перевод моделей бухгалтерского учета в математическую терминологию без расчета для определения оптимума может показаться довольно рутинной задачей. Однако мы убеждены, что до тех пор, пока методы бухгалтерского учета приемлемы для отрасли, простой переход к математической формулировке будет выгоден по нескольким причинам: (1) это можно считать предпосылкой для применения электронных данных к определенным видам обработки. проблемы бухгалтерского учета, (2) он формулирует структуру бухгалтерского учета: моделирует и освещает методы бухгалтерского учета с новой точки зрения, раскрывая многие аспекты, которые до сих пор игнорировались или не наблюдались, (3) он позволяет дать общее и, следовательно, более научное представление многие методы бухгалтерского учета, (4) он облегчает исследование новых областей, тем самым: ускоряя развитие бухгалтерского учета, (5) он ведет к более сложным методам и: может помочь заложить основы для тесного сотрудничества бухгалтерского учета с другими областями: наука управления».

Большинство определений в учете затрат имеют нечеткую описательную форму, которую трудно сопоставить с другими определениями бухгалтерских расчетов. Например, подготовка сравнения отклонений фиксированной стоимости запасов при различных методах оценки запасов может привести к путанице. Другой пример — моделирование отклонений в рабочей силе с корректировкой кривой обучения и изменениями уровня запасов. При отсутствии базовой модели прибыли в алгебраической форме уверенная разработка таких моделей затруднена.

Развитие электронных таблиц привело к децентрализации финансового моделирования. Это часто приводило к тому, что строителям моделей не хватало подготовки в построении моделей. Прежде чем строить какую-либо профессиональную модель, обычно считается целесообразным начать с разработки математической модели для анализа. Модель прибыли обеспечивает общую основу и некоторые конкретные примеры того, как можно построить такую ​​априорную модель прибыли.

Представление модели прибыли в алгебраической форме не ново. Модель Маттессича, хотя он и велик, он не включает в себя многие методы расчета затрат, такие как кривые обучения и различные методы оценки запасов. Кроме того, он не был представлен в той форме, которую большинство бухгалтеров хотели или могли прочитать. В этой статье представлена ​​более расширенная модель анализа прибыли, но она, в отличие от Маттессича, не распространяется на модель баланса. Его форма, начиная с базового определения прибыли и постепенно усложняясь, может сделать его более доступным для бухгалтеров.

Большинство учебников по учету затрат объяснить базовое моделирование затрат, объема и прибыли в алгебраической форме, но затем вернуться к «иллюстративному» подход. Этот «иллюстративный» подход использует примеры или повествование для объяснения процедур управленческого учета. Этот формат, хотя и полезен при общении с людьми, может быть труден для перевода в алгебраическую форму, подходящую для построения компьютерных моделей. Мефам расширил алгебраический, или дедуктивный, подход к учету затрат, включив в него гораздо больше методов. Он разрабатывает свою модель для интеграции с оптимизирующими моделями исследования операций. Модель прибыли возникла на основе работы Мефама, расширив ее, но только в описательной, линейной форме.

Расширения модели

Базовая модель прибыли – продажи минус затраты. Продажи складываются из количества проданных товаров, умноженного на их цену. Затраты обычно делятся на постоянные и переменные.

С использованием:

• Выручка от продаж = pq = цена × проданное количество.
• Себестоимость продаж = wq = себестоимость единицы × проданное количество
• Администрирование, продажи, инженеры, персонал и т. д. = Fn = фиксированные накладные расходы после производства.
• Прибыль = р

Таким образом, прибыль можно рассчитать из:

$\pi =pq-(F_{n}+wq)\qquad \qquad (1)$

Обратите внимание, что w (средняя себестоимость единицы продукции) включает в себя постоянные и переменные затраты.В квадратных скобках указана себестоимость проданного товара, wq, а не себестоимость произведенного товара , wx , где x = себестоимость проданного товара.

Чтобы отобразить себестоимость проданного товара, необходимо включить начальные и конечные запасы готовой продукции.Тогда модель прибыли будет следующей:

• Начальный запас = g _o w = количество начального запаса × стоимость единицы продукции
• Стоимость запаса = g ₁ w = количество конечного запаса × стоимость единицы продукции
• Себестоимость продукции = wx = себестоимость единицы продукции × произведенное количество:

$\pi =pq-[F_{n}+wx+g_{0}w-g_{1}w]\qquad \qquad (2)$

Представление расчета прибыли в такой форме сразу требует более тщательного определения некоторых затрат.

Затраты на производство

Затраты на единицу продукции ( w ) можно разделить на постоянные и переменные затраты:

$w={\frac {F_{m}+vx}{x}}\qquad \qquad (3)$

где

• F _m = постоянные затраты на производство;
• v = переменные затраты на единицу продукции;
• х = объем производства.

Введение такого разделения w позволяет учесть поведение затрат при разных уровнях производства. Здесь предполагается линейная кривая затрат, разделенная между константой ( F ) и ее наклоном ( v ). Если у разработчика модели есть доступ к деталям нелинейных кривых затрат, тогда w необходимо будет определить с помощью соответствующей функции.

Заменив wx в (уравнении 2) и сложив F = F _n + F _m :

$\pi =pq-[F+vx+g0w-g1w]\qquad \qquad (4)$

Элементы переменной стоимости

Переходя к другим расширениям базовой модели, можно включить такие элементы затрат, как прямые материалы, прямая рабочая сила и переменные накладные расходы. Если нелинейная функция доступна и считается полезной, такими функциями можно заменить используемые здесь функции.

Материальная себестоимость реализации = m*μ*q, где

м – количество материала в одной единице готовой продукции.

μ — стоимость единицы сырья.

Затраты на оплату труда = l λ q , где

• l — количество человеко-часов, необходимое для изготовления одной единицы готовой продукции.
• λ – стоимость труда (ставка) в час.

Переменные накладные расходы = nq , где n — переменные накладные расходы на единицу продукции.

Здесь не подразделяется количество на единицу готовой продукции и стоимость единицы.

Таким образом, переменные затраты v * q теперь можно представить следующим образом:

π = pq - [F+(mμ q + l λq + nq)] …………(уравнение 5)

Если требуется объем производства, необходимо добавить запас готовой продукции.

В простом случае в модель можно включить два материала, просто добавив еще один m * μ. В более реалистичных ситуациях потребуются матрица и вектор (см. ниже).

Если необходимо использовать себестоимость закупок материалов, а не стоимость производства материалов, необходимо будет внести поправку на запасы материалов. То есть,

mx = md ₀ + mb - md ₁ ………… (уравнение 6)

где

• d = количество материала на складе,
• 0 = открытие, 1 = закрытие,
• b = количество закупленного материала
• m = количество материала в одной единице готовой продукции
• x = количество, использованное в производстве

Амортизация

Все правила амортизации можно сформулировать в виде уравнений, представляющих их кривую с течением времени. Метод уменьшения баланса представляет собой один из наиболее интересных примеров.

Используя c = стоимость, t = время, L = срок службы, s = ломовую стоимость, Fd = амортизацию по времени:

Depr/yr = Fd = c (s/c)(tL)/L * [L(s/c)1/L] …………… (уравнение 7)

Это уравнение более известно как правило: Амортизация за год = списанная стоимость за прошлый год, умноженная на постоянный %.

Пределы: 0 < t < L, а стоимость лома должна быть больше нуля. (Для нуля используйте 0,1).

Помня, что амортизация, основанная на времени, представляет собой фиксированные затраты, а амортизация, основанная на использовании, может быть переменной стоимостью, амортизацию можно легко добавить в модель (уравнение 5).

Таким образом, модель прибыли становится:

π = pq - [F + F _d + (mμ + lλ + n + n _d )q].......... (уравнение 8)

где nd = амортизация, основанная на использовании (как q), и π = годовая прибыль.

Оценка акций

В приведенном выше примере стоимость единицы готовой продукции «w» осталась неопределенной. Существует множество альтернативных способов оценки акций (w), но здесь мы будем сравнивать только два.

Споры о маржинальных и абсорбционных затратах включают в себя вопрос оценки акций (w).

Должно ли w = v или как (3) w = (Fm + vx)/x.

(i) При предельных издержках: w = v. Подставляя в (4),

π = pq- [F + v x + g ₀ w ₀ - g ₁ w ₁ ]

становится

π = pq- [F + v x + g ₀ w ₀ - g ₁ v]

Это можно упростить, вычеркнув v и заметив: количество начального запаса + производство - количество закрывающего запаса = количество продаж (q), то есть:

π = pq - [F + vq]………….. (уравнение 9)

Обратите внимание: vq = переменная стоимость проданных товаров.

(ii) Использование полной (поглощающей) себестоимостиИспользуя (уравнение 3), где xp = плановое производство, x1 = производство за периодw = (Fm + v xp)/xp = Fm/xp + v.Можно показать, что это приводит к:

π = pq - [F _n + F _m + vq + F _m /x _p * (qx ₁ )]………..(уравнение 10)

Обратите внимание на странное присутствие «x» в модели.Обратите внимание также, что модель поглощения (уравнение 10) аналогична модели предельных затрат (уравнение 9), за исключением конечной части:

F/x _p * (qx ₁ )

Эта часть представляет собой постоянные затраты на складе. Это лучше видно, запомнив q — x= go — g1, чтобы можно было записать

F/x _p • (g ₀ —g ₁ )

Форма модели с «q» и «x» вместо «g ₀ и g _1» позволяет рассчитывать прибыль, когда известны только показатели продаж и производства.

Электронную таблицу можно подготовить для компании с растущим, а затем снижающимся уровнем продаж и постоянным производством. Можно было бы иметь еще один столбец, показывающий прибыль при увеличении продаж и постоянном производстве. Таким образом, можно смоделировать последствия хранения постоянных затрат на складе. Таким образом, такое моделирование представляет собой очень полезный инструмент в дебатах о предельной и полной стоимости.

Моделирование потерь

Одним из способов моделирования потерь является использование:

• Фиксированные потери, (количество) = δf,
• Переменные потери (%) = δv,
• Потери материала = mδ,
• Производственные потери = pδ

Модель со всеми этими потерями вместе будет выглядеть так:

π = vq – [F + µ * mδf + {mμ(1 + mδv) + lλ+n) * (1+ pδ* (q +pδf)]........ (уравнение 11)

Обратите внимание, что потери на оплату труда и переменные накладные расходы также могли быть включены.

Мультипродукты

До сих пор в модели предполагалось очень мало продуктов и/или элементов затрат. Поскольку многие фирмы являются многопрофильными, используемая ими модель должна быть способна решить эту проблему. Хотя математика здесь проста, возникающие проблемы бухгалтерского учета огромны: хорошим примером является проблема распределения затрат. Другие примеры включают расчет точек безубыточности, показатели производительности и оптимизацию ограниченных ресурсов. Здесь будет изложена только механика построения многомерной модели.

Если фирма продает два продукта (a и b), то модель прибыли (уравнение 9):

π = pq -(F + vq) вы станете

π = (pa *qa +pb *qb) - [F + va*qa + vb *qb]

Все постоянные затраты были объединены в F

Таким образом, для нескольких продуктов

π = Σ(pq) - [F + Σ(vq)].... (уравнение 12)

Где Σ = сумма. Что можно изобразить в виде вектора или матрицы в электронной таблице.

или

π = Σpq - [F + Σ(Σmm + Σλ + Σn)q]..... (уравнение 13)

Отклонения

Модель прибыли может представлять фактические данные (c), плановые данные (p) или стандартные данные (s), которые представляют собой фактические объемы продаж по плановым затратам.

Фактическая модель данных будет (с использованием уравнения 8):

π = p _c *q _c - [F _c + (mm _c + lλ _c + n _c )q _c ]

Планируемая модель данных будет (с использованием уравнения 8):

π = p _p *q _p - [F _p + (mm _p + lλ _p + n _p )q _p ]

Стандартная модель данных будет (с использованием уравнения 8):

π = p _p *q _c - [F _p + (mm _p + lλ _p + n _p )q _c ]

Операционные отклонения получаются путем вычитания фактической модели из стандартной модели.

Модель кривой обучения

В модель прибыли можно добавить нелинейные кривые затрат. Например, если при обучении рабочее время на единицу будет уменьшаться экспоненциально с течением времени по мере производства большего количества продукта, то время на единицу будет:

л = р * q ^-б

где r = среднее время. б = скорость обучения.q = количество.

Подставляя в уравнение 8

π = pq - [F + (mμ + rq ^-б λ + n)q]

Это уравнение лучше всего решать методом проб и ошибок, методом Ньютона-Рафсона или графическим методом. Как и амортизация в модели, поправка на обучение обеспечивает форму нелинейного подмоделирования.

Модель процентного изменения

Вместо того, чтобы переменная представляла собой абсолютные суммы, она могла бы представлять собой процентные изменения. Это представляет собой серьезное изменение подхода по сравнению с приведенной выше моделью. Модель часто используется в формате «теперь, когда... (скажем) стоимость рабочей силы выросла на 10%». Если можно разработать модель, которая будет использовать только такие процентные изменения, то затраты на сбор абсолютных количеств будут сэкономлены.

Используемые ниже обозначения включают в себя добавление знака % к переменным, чтобы указать изменение этой переменной, например, p% = 0,10, если предполагается, что цена продажи изменится на 10%,

Пусть x = q и C = вклад

Начнем с абсолютной формы модели вклада (переработанное уравнение (9):

π + F = C = (p - v)q.

Увеличение вклада, возникающее в результате увеличения p, v и/или q, можно рассчитать следующим образом:

C(l + C%) = [p(l+p%)- v(l + v%)]q(l+q%)

переставляя и используя α = (p — v)/p,

C% = ((l+q%)/α)[p%-(l - α)v%]+q%...... (уравнение 18)

Эта модель может выглядеть неряшливо, но она очень мощная. Он предъявляет очень мало требований к данным, особенно если некоторые переменные не изменяются. Большинство представленных выше моделей можно разработать именно в этом формате процентного изменения.

См. также

• Бюджеты
• Учет затрат
• Финансовое моделирование
• Отчет о прибылях и убытках
• Управленческий учет
• Очерк финансов § Финансовое моделирование

Дальнейшее чтение

• Жирарди, Дарио; Джакомелло, Бруно; Джентили, Лука (2011). «Модели бюджетирования и системное моделирование: динамический подход». Электронный журнал ССРН . дои : 10.2139/ssrn.1994453 . S2CID   167656094 .
• Меткалф М. и Пауэлл П. (1994) Управленческий учет: подход к моделированию . Эддисон Уэсли, Уокингем.