Критерий доходности Виллама – Варнке

Трехпараметрическая поверхность текучести Виллама-Варнке.

Виллама – Варнке Критерий доходности — это функция, которая используется для прогнозирования момента возникновения разрушения в бетоне и других когезионно-фрикционных материалах, таких как камень , почва и керамика . Этот критерий доходности имеет функциональный вид

$f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,$

где $I_{1}$ является первым инвариантом тензора напряжений Коши, а $J_{2},J_{3}$ – второй и третий инварианты девиаторной части тензора напряжений Коши. Есть три материальных параметра ( $\sigma _{c}$ - прочность на одноосное сжатие, $\sigma _{t}$ – прочность на одноосное растяжение, $\sigma _{b}$ - прочность на равноосное сжатие), которые необходимо определить, прежде чем критерий текучести Виллама-Варнке можно будет применить для прогнозирования разрушения.

С точки зрения $I_{1},J_{2},J_{3}$, критерий доходности Виллама-Варнке можно выразить как

$f:={\sqrt {J_{2}}}+\lambda (J_{2},J_{3})~({\tfrac {I_{1}}{3}}-B)=0$

где $\lambda$ это функция, которая зависит от $J_{2},J_{3}$ и три материальных параметра и $B$ зависит только от параметров материала. Функция $\lambda$ можно интерпретировать как угол трения, который зависит от угла Лоде ( $\theta$). Количество $B$ интерпретируется как давление сплочения. Таким образом, критерий текучести Виллама-Варнке можно рассматривать как комбинацию критериев текучести Мора-Кулона и Друкера-Прагера .

Функция доходности Вильяма-Варнке

Вид трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений для $\sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7$

След трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в $\sigma _{1}-\sigma _{2}$-самолет для $\sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7$

В оригинальной статье трехпараметрическая функция доходности Виллама-Варнке выражалась как

$f={\cfrac {1}{3z}}~{\cfrac {I_{1}}{\sigma _{c}}}+{\sqrt {\cfrac {2}{5}}}~{\cfrac {1}{r(\theta )}}{\cfrac {\sqrt {J_{2}}}{\sigma _{c}}}-1\leq 0$

где $I_{1}$ – первый инвариант тензора напряжений, $J_{2}$ – второй инвариант девиаторной части тензора напряжений, $\sigma _{c}$ – предел текучести при одноосном сжатии, $\theta$ - угол Лоде, определяемый формулой

$\theta ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\cfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}\right)~.$

Местоположение границы поверхности напряжений в девиаторной плоскости напряжений выражается в полярных координатах величиной $r(\theta )$ который дается

$r(\theta ):={\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}$

где

${\begin{aligned}u(\theta ):=&2~r_{c}~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos \theta \\v(\theta ):=&r_{c}~(2~r_{t}-r_{c}){\sqrt {4~(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})~\cos ^{2}\theta +5~r_{t}^{2}-4~r_{t}~r_{c}}}\\w(\theta ):=&4(r_{c}^{2}-r_{t}^{2})\cos ^{2}\theta +(r_{c}-2~r_{t})^{2}\end{aligned}}$

Количества $r_{t}$ и $r_{c}$ описать векторы положения в местах $\theta =0^{\circ },60^{\circ }$ и может быть выражено через $\sigma _{c},\sigma _{b},\sigma _{t}$ как (здесь $\sigma _{b}$ – напряжение разрушения при равнодвухосном сжатии и $\sigma _{t}$ – напряжение разрушения при одноосном растяжении)

$r_{c}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{3\sigma _{b}\sigma _{t}+\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}\right]~;~~r_{t}:={\sqrt {\cfrac {6}{5}}}\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(2\sigma _{b}+\sigma _{t})}}\right]$

Параметр $z$ в модели определяется выражением

$z:={\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{c}(\sigma _{b}-\sigma _{t})}}~.$

Представление Хай -Вестергора условия текучести Виллама-Варнке может быть следующим: написано как

$f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad \equiv \quad f:={\bar {\lambda }}(\theta )~\rho +{\bar {B}}~\xi -\sigma _{c}\leq 0$

где

${\bar {B}}:={\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~z}}~;~~{\bar {\lambda }}:={\cfrac {1}{{\sqrt {5}}~r(\theta )}}~.$

Модифицированные формы критерия доходности Вильяма-Варнке

Версия Ульма-Кусси-Базанта трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в $\pi$-самолет для $\sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7$

Альтернативной формой критерия доходности Виллама-Варнке в координатах Хай-Вестергора является форма Ульма-Кусси-Базанта:

$f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,\quad {\text{or}}\quad f:=\rho +{\bar {\lambda }}(\theta )~\left(\xi -{\bar {B}}\right)=0$

где

${\bar {\lambda }}:={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~{\cfrac {u(\theta )+v(\theta )}{w(\theta )}}~;~~{\bar {B}}:={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left[{\cfrac {\sigma _{b}\sigma _{t}}{\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\right]$

и

${\begin{aligned}r_{t}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{2\sigma _{b}-\sigma _{t}}}\\r_{c}:=&{\cfrac {{\sqrt {3}}~\sigma _{c}~(\sigma _{b}-\sigma _{t})}{(\sigma _{c}+\sigma _{t})\sigma _{b}-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\end{aligned}}$

Количества $r_{c},r_{t}$ интерпретируются как коэффициенты трения. Чтобы поверхность текучести была выпуклой, критерий текучести Виллама-Варнке требует, чтобы $2~r_{t}\geq r_{c}\geq r_{t}/2$ и $0\leq \theta \leq {\cfrac {\pi }{3}}$.

Вид Ульм-Кусси-Базанта трехпараметрической поверхности текучести Виллама-Варнке в трехмерном пространстве главных напряжений для $\sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7$

След версии Ульма-Кусси-Базанта трехпараметрической поверхности текучести Вильяма-Варнке в $\sigma _{1}-\sigma _{2}$-самолет для $\sigma _{c}=1,\sigma _{t}=0.3,\sigma _{b}=1.7$

См. также

• Выход (инжиниринг)
• Поверхность текучести
• Пластичность (физика)

Ссылки

• Чен, ВФ (1982). Пластичность железобетона . МакГроу Хилл. Нью-Йорк.

Внешние ссылки

• Каспар Уильям и Э. П. Варнке (1974). Основополагающая модель трехосного поведения бетона
• Палко, Дж. Л. (1993). Интерактивная модель надежности для закаленной керамики
• Пожар в «Чоннеле». I: Хемопластическое размягчение в быстро нагретом бетоне, авторы: Франц-Йозеф Ульм, Оливье Кусси и Зденек П. Базант.