Теорема Пуассона о рассеянии

В теории вероятностей теорема Пуассона о рассеянии описывает вероятностную модель случайного рассеяния . Это означает, что количество точек в фиксированной области будет следовать распределению Пуассона .

Заявление

Пусть существует случайный процесс, реализуемый набором точек (называемых попаданиями) в ограниченной области. $K\in \mathbb {R} ^{2}$ такой, что:

имеется только конечное число попаданий 1) Во всей области K .

2) Множественных попаданий в одну точку не бывает.

3) Среди хитов наблюдается однородность и независимость. т.е. для любых непересекающихся субрегионов $B_{1},\ldots ,B_{k}\in K$, $k\geq 2$, количество попаданий в этих регионах не зависит.

В любом регионе B пусть N _B количество попаданий в B. — Тогда существует положительная константа $\lambda$ так, что для каждого субрегиона $B\in K$, N _B имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda |B|$, где $|B|$ - площадь B (помните, что это $\mathbb {R} ^{2}$, в других пространствах с мерой , $|B|$ может означать разные вещи, например длину в $\mathbb {R}$). Кроме того, для любых непересекающихся областей $B_{1},\ldots ,B_{k}$, случайные величины $N_{B_{1}},\ldots ,N_{B_{k}}$ независимы друг от друга.

Положительная константа $\lambda$ называется параметром интенсивности и эквивалентен количеству попаданий на единицу площади K .

Доказательство : $E(N_{B})/|B|=\lambda |B|/|B|=\lambda$

Также,

$P({\text{ one hit in B }})=\lambda |B|e^{-\lambda |B|}\rightarrow \lambda |B|{\text{ as }}|B|\rightarrow 0$

Хотя формулировка теоремы здесь ограничивается $\mathbb {R} ^{2}$, теорему можно обобщить на любое размерное пространство. Некоторые расчеты меняются в зависимости от пространства, в котором разбросаны точки (как упоминалось выше), но общие предположения и результаты остаются в силе.

Пример

Представьте себе капли дождя, падающие на крышу. Крыша – это регион $K\in \mathbb {R} ^{2}$, а капли дождя можно считать хитами нашей системы. Разумно предположить, что количество капель дождя, падающих на любую конкретную область крыши, подчиняется распределению Пуассона. Теорема Пуассона о рассеянии утверждает, что если разделить крыши на k непересекающиеся подобласти, то количество капель дождя, попадающих в конкретную область, $B_{i}$ с интенсивностью $\lambda _{i}$ площади крыши не зависит от количества капель дождя, попадающих в любой другой субрегион. Предположим, что 2000 капель дождя случайным образом падают на 1000 участков крыши. Ожидаемое количество капель дождя на субрегион будет равно 2. Таким образом, распределение количества капель дождя на всей крыше является Пуассоновым с параметром интенсивности 2. Распределение количества капель дождя, падающих на 1/5 крыши, является Пуассоновым с параметром интенсивности 2/5.

Из-за репродуктивного свойства распределения Пуассона k независимых случайных разбросов в одной и той же области могут накладываться, создавая случайное разброс, который следует распределению Пуассона с параметром $(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})$.

Примечания

^ Питман 2003, с. 230.

Ссылки

• Питман, Джим (2003). Вероятность . Спрингер.