Структура Эрбренд
В логике первого порядка структура Эрбрана S — это структура словаря σ , который определяется исключительно синтаксическими свойствами σ . Идея состоит в том, чтобы принять строки символов терминов в качестве их значений, например, обозначение постоянного символа c — это просто « c » (символ). Он назван в честь Жака Эрбрана .
Структуры Эрбранда играют важную роль в основах логического программирования . [1]
Вселенная Эрбрана
Определение [ править ]
Вселенная Эрбрана служит юниверсом в структуре Эрбрана .
- Вселенная Эрбрана языка первого порядка L п , представляет собой набор всех основных членов L п . Если в языке нет констант, то язык расширяется путем добавления произвольной новой константы.
- Вселенная Эрбрана счетно бесконечна, и существует функциональный если σ счетно символ арности больше 0.
- В контексте языков первого порядка мы также говорим просто об универсуме Эрбрана словаря σ .
- Вселенная Эрбрана в замкнутой формулы нормальной форме Скулема F представляет собой набор всех термов без переменных, которые могут быть построены с использованием функциональных символов и констант F . Если F не имеет констант, то F расширяется путем добавления произвольной новой константы.
- Это второе определение важно в контексте вычислительной разрешающей способности .
Пример [ править ]
Пусть L п , быть языком первого порядка со словарным запасом
- постоянные символы: c
- функциональные символы: f (·), g (·)
затем вселенная Эрбрана L п (или σ ) - это { c , f ( c ), g ( c ), f ( f ( c )), f ( g ( c )), g ( f ( c )), g ( g ( c )), ...}.
Обратите внимание, что символы отношений не относятся к юниверсу Эрбрана.
Структура Herbrand
Структура Эрбрана интерпретирует термины поверх вселенной Эрбрана .
Определение [ править ]
Пусть S — структура со словарем σ и U. вселенной Пусть W — множество всех термов над σ, а W 0 — подмножество всех термов без переменных. S Говорят, что является структурой Эрбрана тогда и только тогда, когда
- У = Вт 0
- ж С ( t 1 , ..., t n ) знак равно f ( t 1 , ..., t n ) для каждого n -арного функционального символа f ∈ σ и t 1 , ..., t n ∈ W 0
- с С = c для каждой константы c в σ
Замечания [ править ]
- U — вселенная Эрбрана σ .
- Структура Эрбрана, которая является теории T называется , моделью Эрбрана T моделью .
Примеры [ править ]
Для постоянного символа c и символа унарной функции f (.) мы имеем следующую интерпретацию:
- U знак равно { c , FC , ffc , ffc , ...}
- ФК → ФК , ФК → ФК , ...
- с → с
База Эрбранда
В дополнение к универсуму, определенному в § «Вселенная Эрбрана» , и обозначениям терминов, определенным в § «Структура Эрбрана» , база Эрбрана завершает интерпретацию, обозначая символы отношения.
Определение [ править ]
База Эрбрана — это набор всех основных атомов, аргументы которых являются элементами вселенной Эрбрана.
Примеры [ править ]
Для символа двоичного отношения R мы получаем с учетом приведенных выше условий:
- { р ( c , c ), р ( fc , c ), р ( c , fc ), р ( fc , fc ), р ( fc , c ), ...}
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
- Эббингауз, Хайнц-Дитер ; Флум, Йорг; Томас, Вольфганг (1996). Математическая логика . Спрингер . ISBN 978-0387942582 .