Задача о сотне птиц
Проблема ста птиц - это проблема, впервые обсуждавшаяся в китайском математическом тексте пятого века нашей эры « Чжан Цюцзянь суаньцзин» («Математическая классика Чжан Цюцзяня»), книге математических задач, написанной Чжан Цюцзянь. Это один из самых известных примеров неопределенных задач в ранней истории математики. [1] Эта задача появляется как последняя задача в Чжан Цюцзянь суаньцзин (задача 38 в главе 3). Однако задача и ее варианты появлялись в средневековой математической литературе Индии, Европы и арабского мира. [2]
Название «Задача ста птиц» принадлежит бельгийскому историку Луи ван Хи. [3]
Постановка задачи
[ редактировать ]Задачу ста птиц, представленную в «Чжан Цюцзянь Суаньцзин», можно перевести следующим образом: [4]
- «Теперь один петух стоит 5 цянь, одна курица 3 цянь и 3 цыпленка 1 цянь. Требуется купить 100 кур на 100 цянь. В каждом случае найдите количество купленных петухов, кур и цыплят».
Математическая формулировка
[ редактировать ]Пусть x — количество петухов, y — количество кур, а z — количество цыплят, тогда задача состоит в том, чтобы найти x , y и z, удовлетворяющие следующим уравнениям:
- х + у + г = 100
- 5 х + 3 у + г /3 = 100
Очевидно, приемлемы только неотрицательные целые значения. Выразив y и z через x, получим
- у = 25 − (7/4) х
- г = 75 + (3/4) х
Поскольку все x , y и z должны быть целыми числами, выражение для y предполагает, что x должен быть кратен 4. Следовательно, общее решение системы уравнений может быть выражено с использованием целочисленного параметра t следующим образом: [5]
- х = 4 т
- у = 25 − 7 т
- z = 75 + 3 т
Поскольку y должно быть неотрицательным целым числом, единственные возможные значения t — 0, 1, 2 и 3. Таким образом, полный набор решений определяется выражением
- ( x , y , z ) = (0,25,75), (4,18,78), (8,11,81), (12,4,84).
из которых последние три были даны в Чжан Цюцзянь Суаньцзин . [3] Однако не было указано общего метода решения таких задач, что приводит к подозрению в том, что решения были получены методом проб и ошибок. [1]
Задача ста птиц, найденная в Чжан Цюцзянь Суаньцзин, представляет собой частный случай общей задачи нахождения целочисленных решений следующей системы уравнений:
- х + у + z = d
- топор + by + cz = d
Любую задачу такого типа иногда называют «проблемой ста птиц». [3]
Вариации
[ редактировать ]Некоторые варианты задачи ста птиц появлялись в математической литературе нескольких культур. [1] [2] Ниже мы представляем несколько примеров проблем, обсуждаемых в этих культурах.
Индийская математика
[ редактировать ]Махавиры Ганита -сара-санграха содержит следующую проблему:
- Голуби продаются по курсу 5 к 3, сараса-птицы по курсу 7 к 5, лебеди по курсу 9 к 7, павлины по курсу 3 к 9 ( пана с). Некоторому мужчине велели принести 100 птиц за 100 пан . Что он дает за каждую из купленных им птиц?
Рукопись Бакшали дает задачу решения следующих уравнений:
- х + у + г = 20
- 3 х + (3/2) у + (1/2) z = 20
Средневековая Европа
[ редактировать ]Английский математик Алкуин Йоркский (8-й век, ок. 735-19 мая 804 г. н.э.) сформулировал семь задач, аналогичных задаче о сотне птиц, в своих Propositiones ad acuendos iuvenes . Вот типичная проблема:
- Если 100 бушелей кукурузы распределить между 100 людьми так, что каждый мужчина получит 3 бушеля, каждая женщина - 2 бушеля и каждый ребенок - полбушеля, то сколько мужчин, женщин и детей будет там?
арабская математика
[ редактировать ]Абу Камил (850–930 гг. н. э.) рассматривал неотрицательные целочисленные решения следующих уравнений:
- х + у + г = 100
- 3 х + (/20) у + (1/3) z = 100.
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Кац, Виктор Дж.; Имхаузен, Аннет , ред. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 307. ИСБН 9780691114859 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Каншен Шен; Джон Н. Кроссли; Энтони Ва-Чунг Лун; Хуэй Лю (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. стр. 415–420. ISBN 9780198539360 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Жан-Клод Марцлофф (1997). История китайской математики . Берлин: Springer-verlag. стр. 307–309.
- ^ Лам Лэй Ён (сентябрь 1997 г.). «Чжан Цюцзянь Суаньцзин (Математическая классика Чжан Цюцзяня). Обзор». Архив истории точных наук . 50 (34): 201–240. дои : 10.1007/BF00374594 . JSTOR 41134109 . S2CID 120812101 .
- ^ Ойстейн Руда (2012). Теория чисел и ее история . Курьерская корпорация. стр. 116–141. ISBN 9780486136431 .