Адаптивное представление Габора

Адаптивное представление Габора ( AGR ) — это представление Габора сигнала, в котором его дисперсия регулируется. (STFT) всегда существует компромисс между разрешением по времени и разрешением по частоте В традиционном кратковременном преобразовании Фурье . Длинное окно приводит к высокому разрешению по частоте и низкому разрешению по времени. С другой стороны, высокое временное разрешение требует более короткого окна за счет низкочастотного разрешения. Выбирая правильную элементарную функцию для сигнала с различной структурой спектра, адаптивное представление Габора может обрабатывать как узкополосный, так и широкополосный сигнал.

Расширение Габора

В 1946 году Деннис Габор предположил, что сигнал может быть представлен в двух измерениях, с временными и частотными координатами. И сигнал можно разложить в дискретный набор гауссовских элементарных сигналов.

Определение

Разложение Габора сигнала s(t) определяется по этой формуле:

s(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{m,n}h(t-mT)e^{jnt\Omega }

где h ( t ) — элементарная функция Гаусса:

h(t)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\left(-{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\right)}

После определения элементарной функции Габора коэффициенты Габора $C_{m,n}$ может быть получено скалярным произведением s(t) и двойственной функции $\gamma (t)$

C_{m,n}=\int s(t)\gamma ^{*}(t-mT)e^{-jnt\Omega }\,dt.

$T$ и $\Omega$ обозначают шаги выборки по времени и частоте и удовлетворяют критериям

T\Omega \leqq 2\pi \,

Связь между представлением Габора и преобразованием Габора

Преобразование Габора просто вычисляет коэффициенты Габора. $C_{m,n}$ для сигнала s(t).

Адаптивное расширение

Адаптивное расширение сигнала определяется как

s\left(t\right)=\sum _{p}B_{p}h_{p}(t)

где коэффициенты $B_{p}$ получаются скалярным произведением сигнала s(t) и элементарной функции $h_{p}$

B_{p}=\left\langle s,h_{p}\right\rangle \,

Коэффициенты $B_{p}$ представляют сходство между сигналом и элементарной функцией.
Адаптивная декомпозиция сигнала — это итеративная операция, целью которой является поиск набора элементарных функций. $\left\{h_{p}(t)\right\}$ , что наиболее похоже на частотно-временную структуру сигнала.
Сначала начнем с w=0 и $s_{0}\left(t\right)=s\left(t\right)$ . Затем найдите $h_{0}\left(t\right)$ который имеет максимальный внутренний продукт с сигналом $s_{0}\left(t\right)$ и

\left|B_{p}\right|^{2}=\max _{h}\left|\left\langle s_{p}(t),h_{p}(t)\right\rangle \right|^{2}

Во-вторых, вычислите остаток:

s_{1}\left(t\right)=s_{0}\left(t\right)-B_{0}h_{0}\left(t\right),

и так далее. Получится набор остатков ( $s_{p}\left(t\right)$ ), проекция ( $B_{p}=\left\langle s_{p}(t),h_{p}(t)\right\rangle$ ) и элементарная функция ( $h_{p}\left(t\right)$ ) для каждого отдельного р. Энергия остатка исчезнет, если мы продолжим разложение.

Уравнение сохранения энергии

Если элементарное уравнение ( $h_{p}\left(t\right)$ ) рассчитан на единицу энергии. Тогда энергия, содержащаяся в остатке на p-м этапе, может быть определена как остаток на p+1-м этапе плюс ( $B_{p}$ ). То есть,

\left\|s_{p}(t)\right\|^{2}=\left\|s_{p+1}(t)\right\|^{2}+\left|B_{p}\right|^{2},

\left\|s(t)\right\|^{2}=\sum _{p=o}^{\infty }\left|B_{p}\right|^{2},

аналогично теореме Парсеваля в анализе Фурье.

Выбор элементарной функции является основной задачей адаптивной декомпозиции сигнала. Для достижения нижней оценки неравенства естественно выбрать функцию типа Гаусса:

h_{p}(t)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {\alpha }{2}}(t-T_{p})^{2}}e^{jt\Omega _{p}},

где $\left(T_{p},\Omega _{p}\right)$ это значит и $\alpha _{p}^{-1}$ это дисперсия Гаусса при $\left(T_{p},\Omega _{p}\right)$ . И

s\left(t\right)=\sum _{p}B_{p}h_{p}(t)=\sum _{p}B_{p}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {\alpha }{2}}(t-T_{p})^{2}}e^{jt\Omega _{p}}

называется адаптивным представлением Габора.

Изменение значения дисперсии приведет к изменению продолжительности элементарной функции (размера окна), и центр элементарной функции больше не будет фиксированным. Регулируя центральную точку и дисперсию элементарной функции, мы можем согласовать локальную частотно-временную характеристику сигнала. Более высокая производительность адаптации достигается за счет процесса сопоставления. Компромисс между разной длиной окна теперь становится компромиссом между временем вычислений и производительностью.

См. также

Ссылки

М. Дж. Бастианс, «Разложение Габора сигнала на гауссовы элементарные сигналы», Труды IEEE, том. 68, выпуск: 4, стр. 538–539, апрель 1980 г.
Ши Цянь и Дапан Чен, «Представление сигнала с использованием адаптивных нормализованных функций Гаусса», Signal Processing , vol. 42, № 3, стр. 687–694, март 1994 г.
Цинье Инь, Ши Цянь и Айган Фэн, «Быстрое уточнение адаптивного гауссовского разложения чирплетов», IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, № 6, стр. 1298–1306, июнь 2002 г.
Ши Цянь, Введение в частотно-временные и вейвлет-преобразования , Прентис Холл, 2002 г.