Проблема Бернштейна

В дифференциальной геометрии задача Бернштейна состоит в следующем: если график функции на R ^{п -1} — минимальная поверхность в R ^н, означает ли это, что функция линейна? Это верно для n не более 8, но неверно для n не менее 9. Задача названа в честь Сергея Натановича Бернштейна , который решил случай n = 3 в 1914 году.

Заявление

Предположим, что f — функция n − 1 вещественных переменных. График функции f является поверхностью в R ^н, а условием того, что это минимальная поверхность, является то, что f удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0

Проблема Бернштейна спрашивает, является ли целая функция (функция, определенная в R ^{п -1} ), который решает это уравнение, обязательно является полиномом степени 1.

История

Бернштейн (1915–1917) доказал теорему Бернштейна о том, что график действительной функции на R ² это также минимальная поверхность в R ³ должен быть самолет.

Флеминг (1962) не существует неплоского конуса, минимизирующего площадь. дал новое доказательство теоремы Бернштейна, выведя его из того факта, что в R ³.

Де Джорджи (1965) нет неплоского конуса, минимизирующего площадь, показал, что если в R ^{п -1} то аналог теоремы Бернштейна верен для графов в R ^н, из чего, в частности, следует, что это верно в R ⁴.

Альмгрен (1966) нет неплоских минимизирующих конусов. показал, что в R ⁴, тем самым распространяя теорему Бернштейна на R ⁵.

Саймонс (1968) нет неплоских минимизирующих конусов. показал, что в R ⁷, тем самым распространяя теорему Бернштейна на R ⁸. Он также показал, что поверхность, определяемая

\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}

является локально устойчивым конусом в R ⁸и спросил, минимизирует ли это глобальную площадь.

Бомбьери, Де Джорджи и Джусти (1969) показали, что конус Саймонса действительно является глобально минимизирующим, и что в R ^н для n ≥9 существуют минимальные графы, но не гиперплоскости. В сочетании с результатом Саймонса это показывает, что аналог теоремы Бернштейна верен в R ^н для n ≤8 и ложно в более высоких измерениях.

Ссылки

Альмгрен, Ф.Дж. (1966), «Некоторые теоремы внутренней регулярности для минимальных поверхностей и расширение теоремы Бернштейна», Annals of Mathematics , Second Series, 84 (2): 277–292, doi : 10.2307/1970520 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970520 , MR 0200816
Бернштейн, С. Н. (1915–1917), «Об одной теореме геометрии и ее приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа», Сообщ. Соц. Математика. Харьков , 15 :38–45 Немецкий перевод на Бернштейн, Серж (1927), «О геометрической теореме и ее применении к уравнениям в частных производных эллиптического типа», Mathematical Journal (на немецком языке), 26 , Springer Berlin / Heidelberg: 551–558, doi : 10.1007/BF01475472 , ISSN 0025-5874
Бомбьери, Энрико ; Де Джорджи, Энниус ; Джусти, Э. (1969), «Минимальные конусы и проблема Бернштейна», Mathematical Inventions , 7 (3): 243–268, doi : 10.1007/BF01404309 , ISSN 0020-9910 , MR 0250205 , S2CID 59816096
Де Джорджи, Эннио (1965), «Расширение теоремы Бернштейна» , Ann. Нормальная школа Суп. Пиза (3) , 19 : 79–85, МР 0178385.
Флеминг, Венделл Х. (1962), «О проблеме ориентированного плато», Отчеты Математического цирка Палермо. Серия II , 11 : 69–90, doi : 10.1007/BF02849427 , ISSN 0009-725X , MR 0157263
Сабитов, И.Х. (2001) [1994], «Теорема Бернштейна» , Энциклопедия математики , EMS Press
Саймонс, Джеймс (1968), «Минимальные многообразия в римановых многообразиях» , Annals of Mathematics , Second Series, 88 (1): 62–105, doi : 10.2307/1970556 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970556 , MR 0233295
Страуме, Э. (2001) [1994], «Проблема Бернштейна в дифференциальной геометрии» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

Статья в Энциклопедии математики о теореме Бернштейна