Проблема с покрытием диска

Задача диска о покрытии требует наименьшего действительного числа. $r(n)$ такой, что $n$ диски радиуса $r(n)$ можно расположить таким образом, чтобы закрыть диск агрегата . Двойственно, для данного радиуса ε нужно найти наименьшее целое число n такое, что n дисков радиуса ε могут покрыть единичный диск.

Наилучшие решения, известные на сегодняшний день, заключаются в следующем.

н	г (п)	Симметрия
1	1	Все
2	1	Все (2 диска в стопке)
3	${\sqrt {3}}/2$ = 0.866025...	120°, 3 отражения
4	${\sqrt {2}}/2$ = 0.707107...	90°, 4 отражения
5	0,609382... OEIS : A133077	1 отражение
6	0,555905... OEIS : A299695	1 отражение
7	$1/2$ = 0.5	60°, 6 отражений
8	0.445041...	~51,4°, 7 отражений
9	0.414213...	45°, 8 отражений
10	0.394930...	36°, 9 отражений
11	0.380083...	1 отражение
12	0.361141...	120°, 3 отражения

Метод

На следующем рисунке показан пример пунктирного диска радиуса 1, покрытого шестью сплошными дисками радиуса ~0,6. Один из закрывающих дисков расположен в центре, а остальные пять - симметрично вокруг него.

Хотя это не лучшая компоновка для r(6), аналогичное расположение шести, семи, восьми и девяти дисков вокруг центрального диска, имеющих одинаковый радиус, приводит к лучшим стратегиям компоновки для r(7), r(8), r(9) и r(10) соответственно. Соответствующие углы θ записаны в столбце «Симметрия» приведенной выше таблицы.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема покрытия диска» . Математический мир .
• Финч, С.Р. «Константы кругового покрытия». §2.2 в математических константах. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 484–489, 2003.