Капельное испарение

Проблема испаряющейся капли (испарения капель) является сложной задачей гидродинамики . Это часть многих инженерных ситуаций, связанных с транспортировкой и расчетом аэрозолей: впрыск топлива , окраска распылением , распыление аэрозоля , мигающие выбросы… В большинстве этих инженерных ситуаций существует относительное движение между каплей и окружающим газом. Течение газа над каплей имеет многие особенности течения газа над твердой сферой: градиент давления , вязкий пограничный слой , след . В дополнение к этим общим особенностям течения можно также упомянуть явление внутренней циркуляции жидкости, вызванное поверхностными сдвиговыми силами и эффектом выдувания пограничного слоя .

Одним из ключевых параметров, характеризующих поток газа над каплей, является число Рейнольдса капли, основанное на относительной скорости, диаметре капли и свойствах газовой фазы. Особенности газового потока оказывают решающее влияние на обмен массой, импульсом и энергией между газовой и жидкой фазами, и поэтому их необходимо должным образом учитывать в любой модели испаряющейся капли.

В качестве первого шага стоит исследовать простой случай, когда относительного движения между каплей и окружающим газом нет. Это даст некоторую полезную информацию о физике, связанной с проблемой испаряющихся капель. На втором этапе представлены модели, используемые в инженерных ситуациях, когда существует относительное движение между каплей и окружающей средой.

Одиночная сферически-симметричная капля

В этом разделе мы предполагаем, что между каплей и газом нет относительного движения: $Re_{d}=0$ , а температура внутри капли однородна (модели, учитывающие неоднородность температуры капли, представлены в следующем разделе). Временная эволюция радиуса капли, $r_{d}$ и температура капли, $T_{d}$ , можно вычислить, решив следующий набор обыкновенных дифференциальных уравнений: ^{[ 1 ]}

4\pi r_{d}^{2}\rho _{L}{\frac {\mathrm {d} r_{d}}{\mathrm {d} t}}=-{\dot {m}}_{F}.

{\frac {4}{3}}\pi r_{d}^{3}\rho _{L}C_{pL}{\frac {\mathrm {d} T_{d}}{\mathrm {d} t}}=Q_{L}.

где:

$\rho _{L}$ плотность жидкости (кг.м ⁻³)
${\dot {m}}_{F}$ — скорость испарения капли (кг.с ⁻¹)
$C_{pL}$ - удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении (Дж.кг ⁻¹.К ⁻¹)
$Q_{L}$ – тепловой поток, входящий в каплю (Джс ⁻¹)

Тепловой поток, входящий в каплю, можно выразить как: ^{[ 1 ]}

Q_{L}=Q_{g}-{\dot {m}}_{F}L_{vap}

где:

$Q_{g}$ – тепловой поток от газа к поверхности капли (Джс ⁻¹)
$L_{vap}$ – скрытая теплота испарения рассматриваемых веществ (Дж.кг ⁻¹)

Аналитические выражения для скорости испарения капель: ${\dot {m}}_{F}$ , а для теплового потока $Q_{g}$ теперь являются производными. Рассматривается одна чистая компонентная капля, и предполагается, что газовая фаза ведет себя как идеальный газ. Для газового поля, окружающего каплю, существует сферически-симметричное поле. Аналитические выражения для ${\dot {m}}_{F}$ и $Q_{g}$ находятся путем рассмотрения процессов тепло- и массообмена в газовой пленке, окружающей каплю. ^{[ 2 ]} Капля испаряется и создает в газовой пленке поле радиального течения. Пар из капли конвектируется и диффундирует от поверхности капли. Тепло передается радиально против конвекции к границе раздела капель. Этот процесс называется конвекцией Стефана или течением Стефана . ^{[ 3 ]}

Уравнения сохранения газовой фазы массы, массовой доли паров топлива и энергии записаны в сферической системе координат: ^{[ 3 ]}

{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}r^{2}u\right)=0

{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}r^{2}uY_{F}\right)-{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}{\mathcal {D}}r^{2}{\frac {\partial {Y_{F}}}{\partial {r}}}\right)=0

{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}r^{2}uh_{g}\right)-{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\lambda _{g}r^{2}{\frac {\partial {T_{g}}}{\partial {r}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\sum _{i=1}^{N}\rho _{g}{\mathcal {D}}h_{i}r^{2}{\frac {\partial {Y_{i}}}{\partial {r}}}\right)=0

где:

$\rho _{g}$ плотность газовой фазы (кг.м ⁻³)
$r$ радиальное положение (м)
$u$ Скорость Стефана (мс ⁻¹)
$Y_{F}$ Массовая доля топлива в газовой пленке (-)
${\mathcal {D}}$ Коэффициент массопроводности (м ².с ⁻¹)
$h_{g}$ Энтальпия газа (Дж.кг ⁻¹)
$T_{g}$ Температура газовой пленки (К)
$\lambda _{g}$ Теплопроводность газа (Вм ⁻¹.К ⁻¹)
$N$ Количество веществ внутри газовой фазы, т.е. воздух + топливо (-)

Предполагается, что процессы тепломассопереноса в газовой фазе являются квазистационарными и теплофизические свойства можно считать постоянными. Предположение о квазистационарности газовой фазы находит свое ограничение в ситуациях, когда газовая пленка, окружающая каплю, находится в состоянии, близком к критическому, или в ситуации, когда газовое поле подвергается воздействию акустического поля. Предположение о постоянных теплофизических свойствах оказывается удовлетворительным при условии, что свойства оцениваются при некоторых исходных условиях. ^{[ 4 ]}

T_{r}=T_{s}+A_{r}\left(T_{\infty }-T_{s}\right)

Y_{r}=Y_{F,s}+A_{r}\left(Y_{F,\infty }-Y_{F,s}\right)

где:

$T_{r}$ эталонная температура (К)
$T_{s}$ температура на поверхности капли (К)
$T_{\infty }$ - температура газа вдали от поверхности капли (К)
$Y_{r}$ — эталонная массовая доля топлива (-)
$Y_{F,s}$ - массовая доля топлива на поверхности капли (-)
$Y_{F,\infty }$ — массовая доля топлива вдали от поверхности капли (-)

Правило усреднения 1/3 , $A_{r}={\frac {1}{3}}$ , часто рекомендуется в литературе ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Уравнение сохранения массы упрощается до:

\rho _{g}r^{2}u=cte=\left(\rho _{g}r^{2}u\right)_{s}={\frac {{\dot {m}}_{F}}{4\pi }}

Объединив уравнения сохранения массы и массовой доли паров топлива, получим следующее дифференциальное уравнение для массовой доли паров топлива. $Y_{F}(r)$ получается:

4\pi r^{2}\rho _{g}{\mathcal {D}}{\frac {\mathrm {d} Y_{F}(r)}{\mathrm {d} r}}={\dot {m}}_{F}\left(Y_{F}(r)-1\right)

Интегрируя это уравнение между $r$ и область газовой фазы окружающей среды $r=\infty$ и применяя граничное условие при $r=r_{d}$ дает выражение для скорости испарения капель:

{\dot {m}}_{F}=4\pi \rho _{g}{\mathcal {D}}r_{d}\ln \left(1+B_{M}\right)

и

B_{M}={\frac {Y_{F,\infty }-Y_{F,s}}{Y_{F,s}-1}}

где:

$B_{M}$ - число массопереноса Сполдинга

Фазовое равновесие предполагается на поверхности капли, а мольная доля паров топлива на поверхности капли получается с помощью уравнения Клапейрона .

Аналитическое выражение для теплового потока $Q_{g}$ теперь является производным. После некоторых манипуляций уравнение сохранения энергии запишет:

{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left({\dot {m}}_{F}h_{F}-\lambda _{g}r^{2}{\frac {\partial {T_{g}}}{\partial {r}}}\right)=0

где:

$h_{F}$ — энтальпия паров топлива (Дж.кг ⁻¹)

Применяя граничное условие на поверхности капли и используя соотношение $h=C_{p}\mathrm {d} T$ у нас есть:

4\pi \lambda _{g}r^{2}{\frac {\mathrm {d} T_{g}}{\mathrm {d} r}}={\dot {m}}_{F}C_{p,F}\left(T_{g}-T_{d}+{\frac {Q_{g}}{{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}}\right)

где:

$C_{p,F}$ - удельная теплоемкость при постоянном давлении паров топлива (Дж, кг ⁻¹.К ⁻¹)

Интегрируя это уравнение из $r$ условиям газовой фазы окружающей среды ( $\infty$ ) дает изменение температуры газовой пленки ( $T_{g}$ ) как функция радиального расстояния:

\ln \left({\frac {T_{\infty }-T_{d}+{\frac {Q_{g}}{{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}}}{T_{g}-T_{d}+{\frac {Q_{g}}{{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}}}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}{4\pi \lambda _{g}}}

Приведенное выше уравнение дает второе выражение для скорости испарения капель:

{\dot {m}}_{F}=4\pi r_{d}{\frac {\lambda _{g}}{C_{p,F}}}\ln \left(1+B_{T}\right)

и

B_{T}={\frac {{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}{Q_{g}}}\left(T_{\infty }-T_{d}\right)

где:

$B_{T}$ - число теплопередачи Сполдинга

Наконец, объединив новое выражение для скорости испарения капель и выражение для изменения температуры газовой пленки, получаем следующее уравнение для $Q_{g}$ :

Q_{g}=4\pi r_{d}\lambda _{g}{\frac {\ln \left(1+B_{T}\right)}{B_{T}}}\left(T_{\infty }-T_{d}\right)

Два разных выражения для скорости испарения капель ${\dot {m}}_{F}$ были выведены. Следовательно, существует связь между числом массопередачи Спалдинга и числом теплопередачи Сполдинга, которая записывает:

B_{T}=\left(1+B_{M}\right)^{{\frac {1}{Le}}{\frac {C_{p,F}}{C_{p,g}}}}-1

где:

$Le$ газовой пленки число Льюиса (-)
$C_{p,g}$ - удельная теплоемкость газовой пленки при постоянном давлении (Дж, кг ⁻¹.К ⁻¹)

Скорость испарения капель можно выразить как функцию числа Шервуда. Число Шервуда описывает безразмерную скорость массопереноса к капле и определяется как: ^{[ 3 ]}

Sh={\frac {-2r_{d}}{Y_{s}-Y_{\infty }}}\left({\frac {\partial {Y_{F}}}{\partial {r}}}\right)_{s}=2{\frac {\ln \left(1+B_{M}\right)}{B_{M}}}

Таким образом, выражение для скорости испарения капли можно переписать как:

{\dot {m}}_{F}=2\pi r_{d}{\mathcal {D}}\rho _{g}B_{M}Sh

Аналогично, кондуктивную передачу тепла от газа к капле можно выразить как функцию числа Нуссельта. Число Нуссельта описывает безразмерную скорость теплопередачи капле и определяется как: ^{[ 3 ]}

Nu={\frac {2r_{d}}{T_{\infty }-T_{d}}}\left({\frac {\partial {T_{g}}}{\partial {r}}}\right)_{s}=2{\frac {\ln \left(1+B_{T}\right)}{B_{T}}}

а потом:

Q_{g}=2\pi r_{d}\lambda _{g}Nu\left(T_{\infty }-T_{d}\right)

В пределе, где $B_{T}\to 0$ у нас есть $Nu\to 2$ что соответствует классическому результату о нагретой сфере. ^{[ 3 ]}

Одиночная конвективная капля

Относительное движение капли с газом приводит к увеличению скорости тепломассообмена в газовой пленке, окружающей каплю. Каплю могут окружать конвективный пограничный слой и след. Кроме того, сила сдвига на поверхности жидкости вызывает внутреннюю циркуляцию, которая усиливает нагрев жидкости. Как следствие, скорость испарения увеличивается с ростом числа Рейнольдса капли. Существует множество различных моделей для случая испарения одной конвективной капли. Можно увидеть, что модели испаряющихся капель относятся к шести различным классам: ^{[ 3 ]}

Модель постоянной температуры капли (d ²-закон)
Модель бесконечной проводимости жидкости
Сферически-симметричная модель переходного нагрева капель
Модель эффективной проводимости
Вихревая модель нагрева капли
Решение Навье-Стокса

Основное различие между всеми этими моделями заключается в рассмотрении нагрева жидкой фазы, который обычно является явлением, контролирующим скорость испарения капель. ^{[ 3 ]} Первые три модели не учитывают внутреннюю циркуляцию жидкости. Модель эффективной проводимости (4) и вихревая модель нагрева капли (5) учитывают внутреннюю циркуляцию и внутренний конвективный нагрев. Прямое решение уравнений Навье-Стокса в принципе обеспечивает точные решения как для газовой, так и для жидкой фазы.

Модель (1) представляет собой упрощение модели (2), которая, в свою очередь, является упрощением модели (3). Сферически-симметричная модель нестационарного нагрева капли (3) решает уравнение диффузии тепла через жидкую фазу. Время нагрева капли τ _h можно определить как время, необходимое для проникновения термодиффузионной волны от поверхности капли к ее центру. Время нагрева капли сравнивается со временем жизни капли τ _l . Если время нагрева капли мало по сравнению со временем жизни капли, можно считать, что температурное поле внутри капли однородное и получена модель (2). В модели бесконечной проводимости жидкости (2) температура капли однородна, но меняется со временем. Можно пойти еще дальше и найти условия, при которых можно пренебречь временным изменением температуры капли. Температура жидкости изменяется во времени, пока не будет достигнута температура по влажному термометру . Если температура по влажному термометру достигается за время того же порядка, что и время нагрева капли, то температуру жидкости можно считать постоянной во времени; модель (1), d ²-закон, получается.

Модель бесконечной проводимости жидкости широко используется в расчетах промышленного распыления: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} за баланс между вычислительными затратами и точностью. Для учета конвективных эффектов, повышающих скорость тепло- и массопереноса вокруг капли, внесена поправка в сферически-симметричные выражения чисел Шервуда и Нуссельта. ^{[ 2 ]}

{\dot {m}}_{F}=2\pi \rho _{g}{\mathcal {D}}r_{d}Sh^{*}\ln \left(1+B_{M}\right)

Q_{g}=2\pi r_{d}\lambda _{g}Nu^{*}{\frac {\ln \left(1+B_{T}\right)}{B_{T}}}\left(T_{\infty }-T_{d}\right)

Абрамзон и Сириньяно ^{[ 2 ]} предложите следующую формулировку модифицированных чисел Шервуда и Нуссельта:

Sh^{*}=2+{\frac {\left(Sh_{0}-2\right)}{F_{M}}}

Nu^{*}=2+{\frac {\left(Nu_{0}-2\right)}{F_{T}}}

где $F_{M}$ и $F_{T}$ учитывается поверхностное выдувание, приводящее к утолщению пограничного слоя, окружающего каплю.

$Nu_{0}$ и $Sh_{0}$ можно найти из известного соотношения Фрёсслинга или Ранца-Маршалла: ^{[ 1 ]}

Sh_{0}=2+0.552Re^{\frac {1}{2}}Sc^{\frac {1}{3}}

Nu_{0}=2+0.552Re^{\frac {1}{2}}Pr^{\frac {1}{3}}

где

Приведенные выше выражения показывают, что скорости тепло- и массопереноса увеличиваются с увеличением числа Рейнольдса.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кроу, К., Зоммерфельд, М., Цудзи, Ю. (1998). Многофазные потоки с каплями и частицами , ООО «ЦРЦ Пресс», ISBN 0-8493-9469-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Абрамзон Б., Сириньяно, Вашингтон (1989). Модель испарения капель для расчета горения распылением, Int. J. Тепломассоперенос , Vol. 32 , № 9, стр. 1605-1618.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Сириньяно, Вашингтон (2010). Гидродинамика и транспорт капель и брызг - Второе издание , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88489-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хаббард, Г.Л., Денни, В.Е., Миллс, А.Ф. (1975). Испарение капель: влияние переходных процессов и переменных свойств, Int. J. Тепломассоперенос , Vol. 18 , стр. 1003-1008.
^ Юэнь, MC, Чен, LW (1976). При торможении испаряющихся капель жидкости, Возгорание. наук. Технол. , Том. 14 , стр. 147-154.
^ Аггарвал, СК, Пэн, Ф. (1995). Обзор динамики капель и моделирование испарения для инженерных расчетов, Журнал инженерии газовых турбин и энергетики , Vol. 117 , с. 453.
^ Аггарвал, СК, Тонг, А.Ю., Сириньяно, Вашингтон (1984). Сравнение моделей испарения при расчетах распыления, AIAA Journal , Vol. 22 , № 10, с. 1448.

[Crowe-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кроу, К., Зоммерфельд, М., Цудзи, Ю. (1998). Многофазные потоки с каплями и частицами , ООО «ЦРЦ Пресс», ISBN 0-8493-9469-4 .

[Abramzon1988-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Абрамзон Б., Сириньяно, Вашингтон (1989). Модель испарения капель для расчета горения распылением, Int. J. Тепломассоперенос , Vol. 32 , № 9, стр. 1605-1618.

[SirignanoBook-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Сириньяно, Вашингтон (2010). Гидродинамика и транспорт капель и брызг - Второе издание , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88489-1 .

[Hubbard-4] Перейти обратно: ^а ^б Хаббард, Г.Л., Денни, В.Е., Миллс, А.Ф. (1975). Испарение капель: влияние переходных процессов и переменных свойств, Int. J. Тепломассоперенос , Vol. 18 , стр. 1003-1008.

[YuenChen-5] Юэнь, MC, Чен, LW (1976). При торможении испаряющихся капель жидкости, Возгорание. наук. Технол. , Том. 14 , стр. 147-154.

[Aggarwal2-6] Аггарвал, СК, Пэн, Ф. (1995). Обзор динамики капель и моделирование испарения для инженерных расчетов, Журнал инженерии газовых турбин и энергетики , Vol. 117 , с. 453.

[Aggarwal1-7] Аггарвал, СК, Тонг, А.Ю., Сириньяно, Вашингтон (1984). Сравнение моделей испарения при расчетах распыления, AIAA Journal , Vol. 22 , № 10, с. 1448.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]