Оценщик первой разности

В статистике и эконометрике оценщик первой разности (FD) — это оценщик, используемый для решения проблемы пропущенных переменных с панельными данными . Это соответствует предположениям модели фиксированных эффектов . В определенных ситуациях он может быть более эффективным , чем стандартный метод оценки с фиксированными эффектами (или «внутри»).

Оценщику требуются данные о зависимой переменной, $y_{it}$ и независимые переменные, $x_{it}$ , для набора отдельных единиц $i=1,\dots ,N$ и периоды времени $t=1,\dots ,T$ . Оценщик получается путем выполнения объединенной оценки методом обычных наименьших квадратов (OLS) для регрессии $\Delta y_{it}$ на $\Delta x_{it}$ .

Вывод

Оценщик FD позволяет избежать систематической ошибки из-за какой-либо ненаблюдаемой, неизменной во времени переменной. $c_{i}$ , используя повторяющиеся наблюдения во времени:

y_{it}=x_{it}\beta +c_{i}+u_{it},t=1,...T,

y_{it-1}=x_{it-1}\beta +c_{i}+u_{it-1},t=2,...T.

Дифференцирование уравнений дает:

\Delta y_{it}=y_{it}-y_{it-1}=\Delta x_{it}\beta +\Delta u_{it},t=2,...T,

который удаляет ненаблюдаемое $c_{i}$ .

Оценщик FD ${\hat {\beta }}_{FD}$ затем получается с использованием разностных членов для x и u в МНК:

{\hat {\beta }}_{FD}=(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta X'\Delta y=\beta +(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta X'\Delta u

Где

X,y,

и

u

, являются обозначениями матриц соответствующих переменных. Обратите внимание, что условие ранга должно выполняться для

\Delta X'\Delta X

быть обратимым (

rank[\Delta X'\Delta X]=k

) где

k

- число регрессоров.

Позволять

\Delta X_{i}=[\Delta X_{i2},\Delta X_{i3},...,\Delta X_{iT}]

и определить

\Delta u_{i}

аналогично. Если

E[u_{it}|x_{i1},x_{i2},..,x_{iT}]=0

, согласно Центральной предельной теореме, Закону больших чисел и теореме Слуцкого, оценка распределяется нормально с асимптотической дисперсией

E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1}E[\Delta X_{i}'\Delta u_{i}\Delta u_{i}'\Delta X_{i}]E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1}

.

В предположении гомоскедастичности и отсутствия серийной корреляции математически это $Var(\Delta u|X)=\sigma _{\Delta u}^{2}$ асимптотическую дисперсию можно оценить с помощью

{\widehat {Avar}}({\hat {\beta }}_{FD})={\hat {\sigma }}_{\Delta u}^{2}(\Delta X'\Delta X)^{-1},

где ${\hat {\sigma }}_{u}^{2}$ дается

{\hat {\sigma }}_{\Delta u}^{2}=[n(T-1)-K]^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{t=2}^{T}{\widehat {\Delta u_{it}}}^{2}

и

{\widehat {\Delta u_{it}}}=\Delta y_{it}-{\hat {\beta }}_{FD}\Delta x_{it}

.

Характеристики

Чтобы быть несмещенным, оценщик с фиксированными эффектами (FE) требует строгой экзогенности, $E[u_{it}|x_{i1},x_{i2},..,x_{iT}]=0$ . При этом предположении первая оценка разности также является несмещенной. При более слабом предположении, что $E[(u_{it}-u_{it-1})(x_{it}-x_{it-1})]=0$ , оценка FD является состоятельной. Обратите внимание, что это предположение является менее ограничительным, чем предположение о строгой экзогенности, которое требуется для согласованности использования оценки FE при фиксированном T. Если T стремится к бесконечности, то и FE, и FD согласуются с более слабым предположением о одновременной экзогенности.

Связь с оценщиком фиксированных эффектов

Для $T=2$ , оценки FD и фиксированных эффектов численно эквивалентны.

В предположении гомоскедастичности и отсутствия серийной корреляции в $u_{it}$ оценщик FE более эффективен , чем оценщик FD. Это связано с тем, что оценщик FD не вызывает последовательной корреляции при различении ошибок. Если $u_{it}$ следует за случайным блужданием , однако оценщик FD более эффективен, поскольку $\Delta u_{it}$ серийно некоррелированы.

См. также

Ссылки

Вулдридж, Джеффри М. (2001). Эконометрический анализ перекрестных и панельных данных . МТИ Пресс. стр. 279–291 . ISBN 978-0-262-23219-7 .