Проблема реализации Нильсена

Проблема реализации Нильсена — это вопрос, заданный Якобом Нильсеном ( 1932 , стр. 147–148) о том, могут ли конечные подгруппы групп классов отображений действовать на поверхностях, на который положительно ответил Стивен Керкхофф ( 1980 , 1983 ).

Заявление

Учитывая ориентированную поверхность, мы можем разделить группу Diff( S ), группу диффеоморфизмов поверхности самой себе, на изотопические классы, чтобы получить группу классов отображений π ₀ (Diff( S )). Гипотеза спрашивает, может ли конечная подгруппа группы классов отображений поверхности быть реализована как группа изометрий гиперболической метрики на поверхности.

Группа классов отображений действует в пространстве Тейхмюллера . Эквивалентный способ постановки вопроса заключается в том, каждая ли конечная подгруппа группы классов отображений фиксирует некоторую точку пространства Тейхмюллера.

История

Якоб Нильсен ( 1932 , стр. 147–148) спросил, могут ли конечные подгруппы групп классов отображений действовать на поверхностях. Кравец (1959) утверждал, что решил проблему реализации Нильсена, но его доказательство основывалось на попытке показать, что пространство Тейхмюллера (с метрикой Тейхмюллера ) отрицательно искривлено. Линч (1971) указал на пробел в аргументации, а Мазур (1975) показал, что пространство Тейхмюллера не искривлено отрицательно. Стивен Керкхофф ( 1980 , 1983 ) дал правильное доказательство того, что конечные подгруппы групп классов отображений могут действовать на поверхности с помощью левых землетрясений .

Ссылки

Керкхофф, Стивен П. (1980), «Проблема реализации Нильсена» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 2 (3): 452–454, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14764- 3 , ISSN 0002-9904 , МР 0561531
Керкхофф, Стивен П. (1983), «Проблема реализации Нильсена», Annals of Mathematics , Second Series, 117 (2): 235–265, CiteSeerX 10.1.1.353.3593 , doi : 10.2307/2007076 , ISSN 0003-486X , ДЖСТОР 2007076 , МР 0690845
Кравец, Саул (1959), «О геометрии пространств Тейхмюллера и структуре их модулярных групп», Ann. акад. наук. Фенн. Сер. АИ , 278 :35, МР 0148906
Линч, Мишель Регина (1971), О МЕТРИКЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ТЕЙХМЮЛЛЕРА , MR 2620985 - через ProQuest
Мазур, Ховард (1975), «Об одном классе геодезических в пространстве Тейхмюллера», Annals of Mathematics , Second Series, 102 (2): 205–221, doi : 10.2307/1971031 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971031 , MR 0385173
Нильсен, Якоб (1932), «Исследования топологии замкнутых двусторонних поверхностей. III.», Acta Math. (на немецком языке), 58 (1): 87–167, doi : 10.1007/BF02547775 , Zbl 0004.27501