Шеннонский вейвлет

В функциональном анализе вейвлет Шеннона (или вейвлеты sinc ) представляет собой разложение, которое определяется анализом сигнала с помощью идеальных полосовых фильтров . Вейвлет Шеннона может быть вещественного или комплексного типа .

Вейвлет Шеннона не является хорошо локализованным (некомпактным) во временной области, но его преобразование Фурье ограничено полосой частот (компактная поддержка). Следовательно, вейвлет Шеннона имеет плохую временную локализацию, но хорошую частотную локализацию. Эти характеристики резко контрастируют с характеристиками вейвлета Хаара . Системы Хаара и sinc являются Фурье-двойственными друг другу.

Определение

Функция Sinc является отправной точкой для определения вейвлета Шеннона.

Функция масштабирования

Сначала мы определяем функцию масштабирования как функцию sinc.

$\phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

И определите расширенные и переведенные экземпляры, которые будут

$\phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

где параметр $n,k$ означает расширение и перемещение вейвлета соответственно.

Затем мы можем получить преобразование Фурье масштабирующей функции:

$\Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$где (нормализованная) вентильная функция определяется выражением

$\Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$Также для расширенных и переведенных экземпляров функции масштабирования: $\Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})$

Материнский вейвлет

Использовать $\Phi ^{\text{(Sha)}}$ и приближение мультиразрешения мы можем получить преобразование Фурье материнского вейвлета:

$\Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}$

И расширенные и переведенные экземпляры:

$\Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}$

Тогда материнская вейвлет-функция Шеннона и семейство расширенных и преобразованных экземпляров могут быть получены с помощью обратного преобразования Фурье:

$\psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}$

$\psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)$

Свойство материнского вейвлета и функции масштабирования

• Материнские вейвлеты ортонормированы, а именно:

$<\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

• Переведенные экземпляры функции масштабирования на уровне $n=0$ ортогональны

$<\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}$

• Переведенные экземпляры функции масштабирования на уровне $n=0$ ортогональны материнским вейвлетам

$<\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0$

• Вейвлеты Шеннона имеют бесконечное количество исчезающих моментов.

Реконструкция функции с помощью вейвлетов Шеннона

Предполагать $f(x)\in L_{2}(\mathbb {R} )$ такой, что $\operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]$ и для любого расширения и параметра трансляции $n,k$,

${\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\phi _{k}^{0}(t)dt{\Bigg |}<\infty$, ${\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{k}^{n}(t)dt{\Bigg |}<\infty$

Затем

$f(t)=\sum _{k=\infty }^{\infty }\alpha _{k}\phi _{k}^{0}(t)$ равномерно сходится, где $\alpha _{k}=f(k)$

Настоящий вейвлет Шеннона

Настоящий вейвлет Шеннона

материнского Преобразование Фурье вейвлета Шеннона определяется следующим образом:

$\Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).$

где (нормализованная) вентильная функция определяется выражением

$\prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}$

Аналитическое выражение реального вейвлета Шеннона можно найти, приняв обратное преобразование Фурье :

$\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)$

или альтернативно как

$\psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t)-\operatorname {sinc} (t),$

где

$\operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}$

– это обычная функция sinc , которая появляется в теореме выборки Шеннона .

Этот вейвлет принадлежит $C^{\infty }$-класс дифференцируемости , но он медленно убывает на бесконечности и не имеет ограниченной поддержки , поскольку сигналы с ограниченной полосой частот не могут быть ограничены по времени.

Масштабирующая функция для MRA Шеннона (или Sinc -MRA) задается функцией выборки:

$\phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).$

Комплексный вейвлет Шеннона

В случае комплексного непрерывного вейвлета вейвлет Шеннона определяется выражением

$\psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t)\cdot e^{-2\pi it}$,

Ссылки

• С. Г. Маллат, Вейвлет-тур по обработке сигналов , Academic Press, 1999, ISBN   0-12-466606-X
• К.С. Буррус , Р.А. Гопинатх, Х. Го, Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник для начинающих , Prentice-Hall, 1988, ISBN   0-13-489600-9 .